Géométrie sur les distances et meilleure image euclidienne avec distances pondérées

Abstract

Les domaines de géométrie sur les distances (distance geometry) et de recherche de meilleure image euclidienne avec distances pondérées (nonlinear mapping) sont deux domaines classiques : il s’agit pour le premier de construire une isométrie d’un espace métrique discret vers un nuage de points dans un espace euclidien, ne connaissant qu’une partie des distances, et pour le second de construire un nuage avec la meilleure approximation des distances, avec pondération. Nous montrons comment ces méthodes peuvent être rassemblée en une même famille, chacune représentant un choix de pondérations dans un problème d’optimisation. On étudie la continuité entre ces solutions (qui sont des nuages de points), et la compacité des ensembles de solutions (après centrage). On étudie également un exemple numérique, montrant cependant que le prob- lème d’optimisation est loin d’être simple, et que la procédure d’optimisation peut facilement être piégée dans un minimum local.