Analyse spectrale d’opérateurs de Dirac sur des domaines bornés

Abstract

Cette thèse est consacrée à l'étude spectrale de deux types de perturbation singulières de l'opérateur libre de Dirac en dimension 3.Dans la première partie, nous nous intéressons au couplage de l’opérateur de Dirac avec une combinaison de delta interactions du type électrostatique, scalaire de Lorentz et magnétique, qui sont supportés soit sur des surfaces régulières et compactes ou sur des perturbations locales et régulières de l’hyperplan. Nous développons une approche basée sur des techniques de régularisations qui nous permettra de décrire pour toute combinaison des constantes d'interactions la réalisation auto-adjoint de l’opérateur considéré. Ensuite, nous étudions les propriétés spectrales qualitatives des différents modèles à l’aide d’un principe de Birmann-Schwinger et une formule de Krein qui relie la résolvante de l’opérateur perturbé avec celle de l'opérateur libre de Dirac, et nous portons une attention particulière au cas des combinaisons critiques de constantes de couplage et à celles qui donnent lieu au phénomène de confinement.Dans la deuxième partie, nous étudions le couplage de l’opérateur de Dirac avec une combinaison de delta interactions non critiques supportées sur des surfaces compactes non régulières. Dans un premier temps, nous généralisons les résultats obtenus dans le cadre des surfaces régulières au cas des surfaces qui coïncident localement avec le graphe d’une fonction Lipschitzienne dont les oscillations sont nulles en moyenne. Pour cela, nous utilisons des techniques d’analyse harmonique et la théorie du potentiel. De plus, nous mettons en lumière l'influence de la régularité de la surface supportant les delta interactions sur la régularité Sobolev du domaine de l’opérateur sous considération dans le cas des surfaces Hölderienne.Dans un second temps, nous considérons le cas de delta interactions supportées sur des surfaces satisfaisant certaines conditions topologiques faibles. Nous étudions d’abord l’opérateur de Dirac couplé avec les delta interactions électrostatique et scalaire de Lorentz supportées sur des surfaces uniformément rectifiables. Sous certains conditions sur les constantes de couplages, nous prouvons que l’opérateur perturbé est auto-adjoint et nous établissons plusieurs propriétés spectrales dans le cas Lipschitzienne. En particulier, on détermine le spectre essentiel de l’opérateur perturbé et on démontre qu’au plus un nombre fini de valeurs propres peut apparaître. Puis, nous adaptons ces résultats à d’autres interactions et nous dérivons plusieurs model d’opérateur de Dirac qui donnent lieu au phénomène de confinement.Dans la troisième partie de cette thèse, nous nous intéressons à l’étude des propriétés pseudodifférentiel d’opérateurs de Poincaré-Steklov (PS) associés à l’opérateur de Dirac avec la condition au bord dite MIT bag. Dans un premier temps, nous montrons que ces derniers s’inscrivent bien dans le cadre des opérateurs pseudodifférentiel classiques. Ensuite, nous étudions les opérateurs PS d’un point de vue d’opérateurs pseudodifférentiel semiclassique, où le paramètre semi-classique est donné par l’inverse de la masse. En particulier, à l’aide de certaines propriétés de régularités de l’opérateur MIT bag, nous montrons que les opérateurs PS sont des pseudo semi-classique d’ordre zéro et nous déterminons également leurs symboles principaux semi-classique. Dans un second temps, nous étudions le couplage de l’opérateur de Dirac avec un potentiel supporté à l'extérieur d’un domaine régulier et qui dépend d’une masse supplémentaire. Quand la masse est suffisamment grande, en utilisant le calcul symbolique et les propriétés des opérateurs PS, nous établissons une formule de Krein reliant la résolvante de l’opérateur perturbé avec celle de l’opérateur MIT bag. De plus, nous montrons que l'opérateur perturbé converge au sens de la norme de la résolvante vers l’opérateur MIT bag et nous donnons une estimation précise du taux de convergence.