Une approche basée sur la géométrie Riemannienne pour l'estimation en ligne des distributions elliptiques

Abstract

Durant les dix dernières années, les méthodes basées sur la géométrie Riemannienne et la géométrie de l'information ont eu un impact important sur le traitement des signaux et des images, la science des données, et l'intelligence artificielle.L'objectif de cette thèse est de proposer de nouveaux algorithmes, basés sur la géométrie Riemannienne et la géométrie de l'information, pour l'estimation en ligne des lois dites à contours elliptiques, et de leurs mélanges.En général, l'estimation en ligne est réalisée à travers la minimisation d'une divergence statistique, la divergence de Kullback-Leibler, grâce à l'application d'une méthode de gradient Riemannien stochastique. Afin d'implémenter cette méthode, l'espace des paramètres de la famille de lois elliptiques (ou de mélanges de lois elliptiques) doit être équipé d'une métrique Riemannienne, de préférence la métrique d'information de Fisher.Malheureusement, pour les lois elliptiques, cette métrique est souvent inconnue, ou n'a pas d'expression analytique exploitable. Pour répondre à cette difficulté, nous avons introduit une alternative à la métrique d'information de Fisher, que nous avons appelée métrique d'information par composantes. En utilisant cette métrique, nous avons développé la méthode du gradient d'information par composantes.La méthode du gradient d'information par composantes est une méthode en ligne, avec un faible coût calculatoire, qui lui permet de prendre en compte les jeux de donnés massifs ou de grandes dimensions. De plus, cette méthode a deux variantes, une à pas d'optimisation décroissants, et l'autre à pas d'optimisation adaptatifs. Cette seconde variante permet d'éviter le choix manuel (habituellement très long et pénible) des pas d'optimisation, et d'atteindre une vitesse de convergence qui s'approche d'une vitesse exponentielle.Nous avons appliqué la méthode du gradient d'information par composantes à l'estimation de deux familles de lois elliptiques, les distributions Gaussiennes généralisées multivariées, et les lois de Student multivariées, ce qui nous a permis de mettre en évidence à la fois son faible coût calculatoire et sa vitesse de convergence optimale.Finalement, nous avons réalisé des applications concrètes, en traitement des images et vision par ordinateur, à la conversion de couleurs et à la classification de textures. Pour les images de haute résolution (avec plus de 2 millions de pixels), notre méthode du gradient d'information par composantes n'a besoin que d'une centaine de secondes pour effectuer le travail, avec des résultats nettement meilleurs qu'avec les autres méthodes.