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dc.contributor.advisorKarim Belabas
dc.contributor.advisorAndreas Enge
hal.structure.identifierInstitut de Mathématiques de Bordeaux [IMB]
dc.contributor.authorPAGE, Aurel Regis
dc.contributor.otherKamal Khuri-Makdisi [Président]
dc.contributor.otherJohn Voight [Rapporteur]
dc.contributor.otherPaul E. Gunnells [Rapporteur]
dc.date.accessioned2024-04-04T03:18:29Z
dc.date.available2024-04-04T03:18:29Z
dc.identifier.urihttps://oskar-bordeaux.fr/handle/20.500.12278/194409
dc.identifier.nnt2014BORD0117
dc.description.abstractLes algèbres centrales simples ont de nombreuses applications en théorie des nombres, mais leur algorithmique est encore peu développée. Dans cette thèse, j’apporte une contribution dans deux directions. Premièrement, je présente des algorithmes de complexité prouvée, ce qui est nouveau dans la plupart des cas. D’autre part, je développe des algorithmes heuristiques mais très efficaces dans la pratique pour les exemples qui nous intéressent le plus, comme en témoignent mes implantations. Les algorithmes sont à la fois plus rapides et plus généraux que les algorithmes existants. Plus spécifiquement, je m’intéresse aux problèmes suivants : calcul du groupe des unités d’un ordre et problème de l’idéal principal. Je commence par étudier le diamètre du domaine fondamental de certains groupes d’unités grâce à la théorie des représentations. Je décris ensuite un algorithme prouvé pour calculer des générateurs et une présentation du groupe des unités d’un ordre maximal dans une algèbre à division, puis un algorithme efficace qui calcule également un domaine fondamental dans le cas où le groupe des unités est un groupe kleinéen. Je donne en outre un algorithme de complexité prouvée qui détermine si un idéal d’un tel ordre est principal, et qui en calcule un générateur le cas échéant, puis je décris un algorithme heuristiquement sous-exponentiel pour résoudre le même problème dans le cas d’une algèbre de quaternions indéfinie.
dc.description.abstractEnCentral simple algebras have many applications in number theory, but their algorithmic theory is not yet fully developed. I present algorithms to compute effectively with central simple algebras that are both faster and more general than existing ones. Some of these algorithms have proven complexity estimates, a new contribution in this area; others rely on heuristic assumptions but perform very efficiently in practice.Precisely, I consider the following problems: computation of the unit group of an order and principal ideal problem. I start by studying the diameter of fundamental domains of some unit groups using representation theory. Then I describe an algorithm with proved complexity for computing generators and a presentation of the unit group of a maximal order in a division algebra, and then an efficient algorithm that also computes a fundamental domain in the case where the unit group is a Kleinian group. Similarly, I present an algorithm with proved complexity that decides whether an ideal of such an order is principal and that computes a generator when it is. Then I describe a heuristically subexponential algorithm that solves the same problem in indefinite quaternion algebras.
dc.language.isofr
dc.subjectAlgèbre à division
dc.subjectGroupe d’unités
dc.subjectProblème de l’idéal principal
dc.subjectAlgorithme
dc.subjectGroupe de Kazhdan
dc.subjectGéométrie hyperbolique
dc.subjectArbre de Bruhat–Tits
dc.subject.enDivision algebra
dc.subject.enUnit group
dc.subject.enPrincipal ideal problem
dc.subject.enFast algorithm
dc.subject.enKazhdan group
dc.subject.enHyperbolic geometry
dc.subject.enBruhat–Tits tree
dc.titleMéthodes explicites pour les groupes arithmétiques
dc.title.enExplicit methods for arithmetic groups
dc.typeThèses de doctorat
dc.subject.halMathématiques [math]/Mathématiques générales [math.GM]
bordeaux.hal.laboratoriesInstitut de Mathématiques de Bordeaux (IMB) - UMR 5251*
bordeaux.institutionUniversité de Bordeaux
bordeaux.institutionBordeaux INP
bordeaux.institutionCNRS
bordeaux.type.institutionUniversité de Bordeaux
bordeaux.ecole.doctoraleÉcole doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
hal.identifiertel-01111509
hal.version1
hal.origin.linkhttps://hal.archives-ouvertes.fr//tel-01111509v1
bordeaux.COinSctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info:ofi/fmt:kev:mtx:journal&rft.title=M%C3%A9thodes%20explicites%20pour%20les%20groupes%20arithm%C3%A9tiques&rft.atitle=M%C3%A9thodes%20explicites%20pour%20les%20groupes%20arithm%C3%A9tiques&rft.au=PAGE,%20Aurel%20Regis&rft.genre=unknown


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