Méthodes de différences finies superconvergentes sur grille cartésienne pour les équations de Poisson dans des domaines bi-dimensionels

Abstract

Nous présentons 3 méthodes superconvergentes sur grilles cartésiennes pour des équations de Poisson avec condition de Dirichlet, Neumann ou Robin. Ces méthodes sont basées sur des différences finies et des discrétisation de l’opérateur de Laplace à un ordre élevé pour obtenir les propriétés de superconvergence. La superconvergence est au sens que les premières (et eventuellement secondes) dérivées d’une solution numérique sont au même ordre de précision que la solution elle-même. Nous proposons des conditions numériques auxquelles doivent satisfaire les schémas pour obtenir les propriétés de superconvergence, et nous illustrons de façon extensive notre proposition par des exemples numériques. Nous concluons en appliquant nos méthodes à un problèlme à frontière libre pour la formation de protrusion à l’échelle de la cellule, récemment proposés par les auteurs avec leurs collègues. Insistons sur le fait que le problème quasistatique de Stefan à 2 phases peut être calculé précisément par notre approche.