Note sur la loi hyper-équiprobable sur N

Abstract

Il n'existe pas de loi équiprobable sur l'ensemble des entiers naturels. Vraiment? Selon la théorie des probabilités de Kolmogorov, s'il existe une telle loi, alors soit la probabilité de chaque élément est strictement positive et la somme infinie de ces probabilités est infinie, soit la probabilité de chaque élément vaut zéro et la somme infinie de ces probabilités vaut zéro. Dans les deux cas, on est en contradiction avec l'axiome IV de Kolmogorov qui demande que la probabilité de l'ensemble des éléments fasse 1. Soit... Mais cela signifie-t-il qu'il n'existe pas de loi de probabilité équiprobable (ou uniforme) sur N? De Finetti voulait que l'on puisse parler d'une loterie ou le nombre de billets serait infini et pour laquelle chaque ticket aurait la même probabilité d'être sélectionné. S'agit-il d'un rêve inaccessible ou d'une nécessité légitime? Une théorie des probabilités peut-elle se satisfaire d'une réponse négative? Une solution se trouve certainement via le concept de nombre infinitésimal (IP) et l'ensemble des hyperréels ().