Numerical verification of the Cohen-Lenstra-Martinet heuristics and of Greenberg's p-rationality conjecture

Abstract

Dans cet article nous apportons des éléments en faveur de la conjecture de Greenberg d'existence de corps p-rationnels à groupe de Galois connu. Nous introduisons une famille de corps biquadratiques p-rationnels et nous donnons des nouveaux exemples numériques de corps p-rationnels multiquadratiques de grand degré. Dans le cas des corps multiquadratiques et multicubiques on prouve que la conjecture est une conséquence de la conjonction de l'heuristique de Cohen-Lenstra-Martinet et d'une conjecture de Hofmann et Zhang portant sur le régulateur p-adique; nous apportons des nouveaux résultats numériques en faveur de ces conjectures. Une comparaison des outils existants nous amène à proposer des modifiquations algorithmiques.