Étude de la répartition des automorphismes de Frobenius dans les groupes de Galois

Abstract

Dans cette thèse, on s'intéresse à divers aspects de la théorie des courses de nombres premiers, initiée par Rubinstein et Sarnak en 1994. Dans le premier chapitre, on revient sur la méthode de Rubinstein et Sarnak, on fait un tour d'horizon de prolongements de leurs travaux, et on développe leur méthode dans un cadre général, en cherchant à s'affranchir le plus possible des hypothèses de travail de ceux-ci concernant l'indépendance linéaire des parties imaginaires des zéros non triviaux des fonctions L de Dirichlet. Dans le deuxième chapitre, on s'intéresse à la généralisation des problèmes de courses de nombres premiers au contexte de la répartition des automorphismes de Frobenius dans les groupes de Galois d'extensions de corps de nombres. Dans la lignée de travaux récents de Fiorilli et Jouve, on met en évidence l'influence que des zéros en 1/2 de certaines fonctions L d'Artin peuvent avoir sur de telles courses. Dans le troisième et dernier chapitre, on s'intéresse à la transposition des questions précédentes aux extensions de corps de fonctions en une variable sur les corps finis, et on montre un nouveau théorème central limite pour des extensions superelliptiques.