Calcul stochastique dans les variétés et application aux inégalités fonctionnelles

Abstract

Cette thèse explore les liens entre le calcul stochastique et l’analyse, dans un cadre géométrique riemannien. Nous nous attelons à étendre des résultats connus et des méthodes rodées, pour l’espace euclidien Rn, en de nouveaux résultats et méthodes pour les variétés riemanniennes. Les interactions considérés dans cette thèse seront de deux natures. D’une part, nous étudions l’interprétation stochastique des semi-groupes, de l’équation de la chaleur et ses applications aux inégalités fonctionnelles telles que Poincaré and FKG. Nous étudions les entrelacements entre diffusion et transport parallèle déformé, entre générateurs et entre semi-groupes. Le critère classique assurant ces relations est le critère de Bakry-Émery. Notre contribution principale est une généralisation de ce critère par la méthode de torsion (twisting). Nos donnons une condition générale pour obtenir des résultats d’entrelacement, d’inégalité fonctionnelle ou de trou spectral. Nous présentons comment utiliser ce résultat théorique sur des exemples explicites. Notre méthode illustre alors son efficacité en améliorant les résultats précédant sur les mesures de Cauchy généralisée. D’autre part, nous étudions le problème de Brenier-Schrödinger, vu comme la relaxation du problème de minimisation associé aux équations de Navier-Stokes. Notre étude se place dans le cadre des variétés compactes à bords et nous traitons deux principales questions : les solutions du problèmes de Brenier-Schrödinger sont-elles solutions (et en quel sens?) des équations de Navier-Stokes et le problème de Brenier-Schrödinger admet-il une (unique?) solution? Ce travail généralise des résultats précédents dans le cadre euclidien ou le cadre du tore Tn. Nos deux principales contributions sont l’étude du comportement des vitesses aux frontières du domaine et la méthode de quotient qui permet d’obtenir des espaces sur lequel le problème de Brenier-Schrödinger incompressible admet une unique solution.