Kinetic models applied to some collective dynamics behaviors

Abstract

Dans divers domaines, certains phénomènes qui dépendent du temps sont représentés par des modèles mathématiques. En particulier les comportements collectif d’un groupe composé d’un certain nombre d’agents. Dans les modèles de la théorie cinétique, on étudie la position et la vitesse de chaque agent au cours du temps. L’équation de Boltzmann est l’une des équations les plus connues dans ce domaine. Dans la littérature moderne, on trouve beaucoup de modèles cinétiques de type Boltzmann qui décrivent au cours du temps le comportement collectif d’un groupe (gaz de particules, groupe d’individus, nuée d’oiseaux, banc de poissons,...). On retrouve dans la plupart de ces modèles les mêmes résultats que ceux établis pour l’équation de Boltzmann en utilisant les mêmes arguments. Le but de ce manuscrit est d’introduire puis d’étudier un modèle cinétique de type Boltzmann dans lequel les outils classiques utilisés pour l’équation de Boltzmann sont inopérants. Le modèle présenté dans ce manuscrit est un modèle de type Boltzmann qui décrit au cours du temps le comportement collectif d’un grand groupe d’individus. Celui-ci considère un mécanisme où lorsque deux individus entrent en collision, ils vont adopter après la collision la même vitesse selon une distribution centrée sur la vitesse moyenne avant la collision. Le premier chapitre de ce manuscrit concerne la version la plus simplifiée de ce modèle: la version homogène en espace avec un taux de collision constant. Nous montrerons dans ce chapitre que dans ce cas particulier, les solutions du modèle sur Rd convergent exponentiellement vers l’état d’équilibre pour la distance de Wasserstein. Cette convergence sera obtenue grâce à un phénomène de contraction qui prend place dans le processus de collision. La convergence des solutions pour la norme forte L1 sera également démontrée pour des conditions initiales vérifiant une propriété de régularité plus forte. Des illustrations numériques seront présentes afin de visualiser cette convergence. Dans un second chapitre, on considèrera le même modèle mais avec un taux de collision quelconque. La non-constance de celui-ci complique la preuve puisqu’il fait disparaitre le phénomène de contraction dans le processus de collision. Cependant, on peut écrire le modèle comme une équation différentielle ordinaire en dimension infinie, ce qui fait apparaître un opérateur qui satisfait la condition de Hölder pour a = 1=2. Nous montrerons dans ce second chapitre l’existence d’états d’équilibre et des simulations numériques seront présentées. Celles-ci montrerons l’existence d’une solution en tout tempsainsi que la convergence vers un unique état d’équilibre. La convergence théorique n’est pas démontré rigoureusement.