Étude de quelques approximations hydrostatiques des modèles de la mécanique des fluides

Abstract

Dans la première partie de cette thèse, nous étudions trois modèles décrivant une approximation hydrostatique des équations issues de la mécanique des fluides telles que les équations de la magnétohydrodynamique, les équations primitives et les équations hyperboliques de Navier-Stokes. Dans le cadre de ce projet, nous avons déterminé l'impact que la méthode des estimations analytiques pourrait avoir sur le problème de la limite hydrostatique des équations de la mécanique des fluides avec une faible viscosité dans un domaine mince. Les équations de la magnéto-hydrodynamique et hyperbolique de Navier-Stokes avec une viscosité évanescente et conditions Dirichlet au bord du domaine, font intervenir des équations de type Prandtl qui régissent le comportement du fluide dans une couche limite proche du bord. Ces équations semblent être mal posées dans des espaces de Sobolev, mais elles sont bien posées pour des données initiales analytiques. Nous avons démontré par la méthode des estimations analytique qu'il est possible d'obtenir un résultat d'existence globale en temps dans l'espace des fonctions analytiques, à donnée initiale petite. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous étudions le système magnétohydrodynamique dans tout l'espace de dimension trois R3. Dans ce cadre, on a obtenu deux résultats d'existence de solutions fortes globales pour ce système magnéto-hydrodynamique homogène et inhomogène. En effet, on a étudié ces équations dans un cadre homogène et inhomogène où on a pu montrer que nos équations sont globalement bien posées lorsque la dérivée verticale de nos données initiales satisfait une condition de petitesse.