Epidemic models in measure spaces: persistence, concentration and oscillations

Abstract

Nous étudions le comportement en temps long d'un modèle épidémique de type SIR dans le cas d'une population homogène d'hôtes. La population de pathogènes est structurée par une variable génotypique. Lorsque l'ensemble maximisant la fonction de fitness est de masse initiale positive, nous décrivons précisément la convergence de l'orbite vers un unique état stationnaire déterminé explicitement. Lorsque cet ensemble est de masse initiale nulle, nous montrons la persistence uniforme de la population d'infectés et la concentration de la population de pathogènes sur l'ensemble des traits génotypiques qui maximisent la fonction de fitness. Nous étudions plus précisément le cas d'une fonction de fitness régulière possédant un nombre fini de maxima et montrons que, dans ce cas, la donnée initiale peut avoir une influence sur le support de la distribution finale des traits. En particulier, nous montrons que la sélection naturelle ne sélectionne pas toujours un seul trait génotypique, mais plusieurs peuvent coexister du moment qu'ils maximisent la fonction de fitness. Enfin, nous proposons un exemple pathologique dans lequel la distribution de pathogènes n'atteint jamais un état d'équilibre mais oscille autour de l'ensemble de fitness maximale.