Convexité, pluri-sous-harmonicité et principe du maximum dans les espaces de Banach

Abstract

Dans cet article, je m’efforce tout d’abord de rendre plus précise l’analogie connue entre convexité et pluri-sous-harmonicité. J’introduis ensuite une notion de pluri-sous-harmonicité stricte analogue à la convexité stricte, et je montre l’intérêt de cette notion pour l’étude du principe du maximum dans les espaces de Banach. En guise d’application, je définis une notion d’intégrale directe L^p d’une famille d’espaces de Banach qui comprend à la fois les espaces L^p de Bochner, les sommes directes ℓ^p et les intégrales directes hilbertiennes, et je montre que sous certaines hypothèses, lorsque p < ∞, une intégrale directe L^p vérifie le principe du maximum si et seulement si presque tous les membres de la famille vérifient le principe du maximum. Cet énoncé peut être vu comme une reformulation de plusieurs résultats connus, mais la notion de pluri-sous-harmonicité stricte permet d’en donner une nouvelle démonstration, qui a l’avantage d’être courte, éclairante et unifiée.