Metastabilité de processus non locaux

Abstract

On étudie dans cette thèse des équations de Boltzmann inhomogènes, linéaires, dans un régime de basse température et en présence d'une force extérieure dérivant d'un potentiel. On s'intéresse plus particulièrement au spectre près de 0 des opérateurs associés dont on cherche à fournir une description précise. Cette dernière nous permet de récupérer des informations avancées sur le comportement en temps long des solutions avec notamment des résultats quantitatifs de retour à l'équilibre et de metastabilité.On commence par traiter le cas d'opérateurs de collisions de type "relaxation douce" qui se trouvent être des opérateurs pseudo-différentiels présentant de bonnes propriétés microlocales. L'approche adoptée consiste à utiliser et adapter à notre cadre non local des constructions de quasimodes (fonctions propres approchées) récemment développées pour l'étude d'opérateurs différentiels de type Fokker-Planck. Ces dernières reposent en partie sur des estimations de résolvante que l'on obtient via des méthodes hypocoercives. On établit alors la description du spectre désirée dans le cas d'un potentiel de Morse satisfaisant une hypothèse générique.À travers un exemple relativement simple d'opérateur semiclassique, elliptique et non local, on montre ensuite que cette hypothèse peut être relaxée et les constructions mises en place dans le cas d'un potentiel de Morse général.Enfin, on s'intéresse à l'opérateur de Boltzmann de "relaxation linéaire" qui correspond au modèle BGK. Ce dernier s'avère également être un opérateur pseudo-différentiel mais présente de "mauvaises" propriétés microlocales qui font échouer les méthodes employées dans le cas de la relaxation douce. On surmonte ces difficultés en introduisant une superposition de quasimodes gaussiens inspirée des constructions précédentes et grâce à laquelle on parvient là encore à récupérer une formule d'Eyring-Kramers pour le spectre de cet opérateur.