Équations des ondes avec des perturbations dépendantes du temps

Abstract

On étudie l'équation des ondes $\partial_t^2 u-\Div_x(a(t,x)\nabla_xu)=0$ avec une métrique scalaire $a(t,x)$ périodique en temps et égale à $1$ en dehors d'un ensemble compact par rapport à $x$. Notre objectif est d'estimer les solutions de cette équation ayant des données initiales dans l'espace énergétique $\dot{H}^1({\R}^n)\times L^2({\R}^n)$. Plus précisément, nous établirons des estimations de Strichartz globales ainsi que la décroissance de l'énergie locale sous certaines hypothèses. Nous distinguerons le cas des dimensions impaires de celui des dimensions paires. Notons $n$ la dimension de l'espace. Dans la première partie de notre recherche, nous traitons le cas des dimensions $n\geq3$ impaires. Pour cela on suppose que $a(t,x)$ est non captif et que les résonances $z\in\mathbb{C}$ sont contenue dans le disque unité ouvert. Sous cette hypothèse on démontre la décroissance exponentielle de l'énergie locale et on en déduit l'intégrabilité $L^2$ en temps de l'énergie locale. Ensuite, on établit des estimations de Strichartz locales pour les solutions de $\partial_t^2 u-\Div_x(a(t,x)\nabla_xu)=0$. En combinant ces deux arguments, on établit des estimations de Strichartz globales en considérant les solutions tronquées en temps. Dans la deuxième partie de notre recherche, nous traitons le cas des dimensions $n\geq4$ paires. Considérons la résolvante tronquée $R_\chi(\theta)=\chi(\mathcal U(T)-e^{-i\theta})^{-1}\chi$ , où $\chi\in{\CI}$, $T$ est la période de $a(t,x)$ et $\mathcal U(T)$ est le propagateur associé à l'équation au temps $T$. Nous supposons que $a(t,x)$ est non captif et que la résolvante tronquée $R_\chi(\theta)$ admet un prolongement holomorphe sur $\{\theta\in\mathbb{C}\ :\ \textrm{Im}(\theta) \geq 0\}$, pour $n \geq 3$, impair, et sur $\{ \theta\in\mathbb C\ :\ Im(\theta)\geq0,\ \theta\neq 2k\pi-i\mu,\ k\in\mathbb{Z},\ \mu\geq0\}$ pour $n \geq4$, pair. De plus, pour $n \geq4$ pair, on suppose que $R_\chi(\theta)$ est bornée au voisinage de $\theta=0$. Sous cette hypothèse on démontre la décroissance de l'énergie locale. En combinant cet argument avec les résultats de la première partie, on obtient des estimations de Strichartz globales pour les dimensions $n\geq3$ quelconques.