Méthodes d’ordre élevé pour les systèmes hyperboliques : des frontières immergées aux schémas préservant la structure

Abstract

Les équations différentielles partielles peuvent être utilisées pour décrire de nombreux phénomènes physiques qui se produisent en ingénierie et en physique. Parmi eux, les équations hyperboliques sont très importantes lors de la modélisation de processus physiques comme la mécanique des fluides: En particulier, nous nous concentrons ici sur les équations d’Euler pour la dynamique des gaz et les équations des eaux peu profondes pour les écoulements à surface libre. En raison de la structure mathématique de ces systèmes, aucune solution analytique n’est généralement disponible. Pour cette raison,nous devons recourir à des méthodes numériques pour les approximer. Le but de ces méthodes est d’approcher avec précision les solutions de ces problèmes avec le coût de calcul le plus bas. Afin d’exploiter au mieux la puissance et les architectures des ordinateurs modernes, des méthodes d’ordre élevé ont été introduites afin de fournir un avantage par rapport aux méthodes traditionnelles. Leur principal avantage est la possibilité d’obtenir des erreurs de discrétisation plus faibles sur des grilles plus grossières. Cependant, elles s’accompagnent de certains défis liés aux conditions aux bords et à la limitation des chocs, que nous aborderons dans le manuscrit. De plus, il est difficile de prouver, pour ces méthodes, leur capacité à préserver certaines propriétés physiques. Pour les problèmes de dynamique des fluides, on est principalement intéressé par le maintien, au niveau discret, de niveaux positifs de variables spécifiques (par exemple, la hauteur de l’eau et la densité d’un gaz) et à la conservation des états stationnaires (par exemple, le lac au repos). Bien qu’il soit trivial d’y penser, la préservation de ces propriétés physiques au niveau discret n’est pas automatique et les schémas doivent être correctement conçus pour cela. Plusieurs techniques de discrétisation ont été développées et testées sur des problèmes difficiles.