Trace et calcul résiduel : une nouvelle version du théorème d'Abel inverse, formes abéliennes

Abstract

On utilise le calcul résiduel pour un calcul effectif de la trace d'une forme méromorphe sur une hypersurface analytique permettant d'obtenir une caractérisation des formes traces. En conséquence, une version plus forte du théorème d'Abel-inverse global que celle donnée par Henkin-Passare est prouvée : le courant [V ] ∧ Φ est algébrique si et seulement si sa transformée d'Abel A([V ] ∧ Φ) est rationnelle en les variables ne correspondant pas à la pente. La preuve s'appuie sur des mécanismes algébriques d'inversion et sur une équation différentielle de type "onde de choc" vérifiée par les coefficients de la trace. Le théorème de Wood donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une collection de germes d'hypersurfaces soit incluse dans une hypersurface algébrique. On établit le lien logique de cet énoncé avec le théorème d'Abel-inverse. Enfin, on obtient une nouvelle méthode pour calculer la dimension de l'espace des n-formes abéliennes sur une hypersurface projective.