Théorèmes d’existence en temps court du flot de Ricci pour des variétés non-complètes, non-éffondrées, à courbure minorée.

Abstract

Le flot de Ricci est une équation aux dérivées partielles qui régit l’évolution d’une métrique riemannienne dépendant d’un paramètre de temps sur une variété différentielle. D’abord introduit et étudié par R. Hamilton, il est à l’origine de la solution de la conjecture de géométrisation des variétés compactes de dimension 3 par G. Perelman en 2001. La théorie classique concernant l’existence en temps court des solutions, due à Hamilton et à Shi, garantit (en dimension quelconque) l’existence d’un flot soit sur une variété compacte, soit lorsque la métrique initiale est complète avec une borne sur la norme du tenseur de courbure. En l’absence de cette borne, on conjecture qu’on peut trouver, à partir de la dimension 3, des données initiales pour lesquelles il n’existe pas de solution. Dans cette thèse, on démontre des théorèmes d’existence en temps court du flot sous des hypothèses plus faibles qu’une borne sur la norme du tenseur de courbure. Pour cela, on introduit une construction générale qui, pour une métrique riemannienne g quelconque sur une variété M, pas nécessairement complète, permet de produire une solution de l’équation du flot sur un domaine ouvert D de l’espace-temps M * [0,T] qui contient la tranche de temps initiale, avec g pour donnée initiale. On montre ensuite que sous des hypothèses adaptées sur la métrique g, on contrôle la forme du domaine D. En particulier, lorsque la métrique g est complète, D contient un ensemble de la forme M * [0,t], avec t>0, ce qui revient à dire qu’il existe un flot au sens classique dont la donnée initiale est g. Les « hypothèses adaptées » qui conduisent à des théorèmes d’existence sont de trois types. Dans tout les cas, on suppose une minoration uniforme du volume des boules de rayon au plus 1, à quoi on ajoute : a) en dimension 3, une minoration du tenseur de Ricci, b) en dimension n, une minoration d’une notion de courbure dite « courbure isotrope I » ou bien c) en dimension n, une borne sur la norme du tenseur de Ricci et une hypothèse qui garantit la proximité au sens métrique des boules de rayon au plus 1 avec une boule de même rayon dans un espace métrique obtenu comme le produit cartésien d’un espace de dimension 3 et d’un facteur euclidien de dimension n-3. De plus, avec ces résultats d’existence viennent des estimations sur les propriétés de régularisation du flot quantifiées en fonction des hypothèses sur la donnée initiale. La possibilité ainsi offerte de régulariser, globalement ou localement, pour un temps et avec des estimations quantifiés, une métrique initiale a des conséquence sur les espaces métriques singuliers obtenus comme limites, pour la distance de Gromov-Hausdorff, de suites de variétés satisfaisant uniformément aux conditions a), b) ou c). En effet, des théorèmes de compacité classiques pour le flot de Ricci permettent d’extraire un flot limite, étant donnée une suite de métriques initiales satisfaisant uniformément à ces hypothèses, et possédant donc toutes un flot pour un temps contrôlé. Lorsque les métriques en question approchent, pour la topologie de Gromov-Hausdorff, un espace singulier, cette solution limite s’interprète comme un flot régularisant l’espace singulier en question, et son existence contraint la topologie de cet espace singulier.