Fonctions de Littlewood-Paley-Stein pour les opérateurs de Schrödinger et le laplacien de Hodge-de Rham sur des variétés non-compactes

Abstract

On étudie la continuité en norme Lp de certaines fonctionnelles liées à des équations d'évolution. Les fonctionnelles qui nous intéressent sont les fonctions de Littlewood-Paley-Stein et sont à l'origine définies pour le laplacien sur {R}N par H(f)(x) = left( int_0^infty |e^{-tDelta} f|^2 {d}tight)^{1/2}. La fonctionnelle H est bornée sur L^p(RR) pour tout p in (1,+infty), mais ce n'est pas le cas sur les variétés. Plus précisément, on s'intéresse dans cette thèse à l'étude des fonctionnelles de Littlewood-Paley-Stein pour les opérateurs de Schrödinger et le laplacien de Hodge-de Rham sur les variétés riemanniennes non compactes. Elles sont définies par des formules analogues à celle introduite par Stein. Nous nous intéressons aussi au problème qui a motivé l'étude de ces fonctions, celui de la continuité en norme L^p de la transformée de Riesz L^{-1/2} et d^* LF^{-1/2} et aux interactions entre ces deux problèmes.Nous étudions d'abord les fonctionnelles associées aux opérateurs de Schrödinger ou au laplacien de Hodge-de Rham en dehors du cadre habituel de l'estimation gaussienne du noyau de la chaleur et des variétés doublantes. Nous obtenons un résultat positif analogue à la continuité inconditionnelle de H sur L^p pour p in (1,2]. Dans un second temps, nous étudions les liens entre la bornétude de ces fonctions de Littlewood-Paley-Stein pour l'opérateur de Schrödinger et celle de la transformée de Riesz e^{-tL}. Nous montrons que la {R}-born étude des familles d'opérateurs { sqrt{t} sqrt{V} e^{-tL} ,t geq 0} et { sqrt{t}e^{-tL} , t geq 0 } est équivalente à la bornétude de H_L, et implique aussi des estimations de Littlewood-Paley-Stein généralisées.Enfin, nous étudions la bornétude de fonctions carrés coniques dans le cadre d'opérateurs de Schrödinger sur les variétés. Ces fonctions ont un comportement différent sur Lp selon si p in (1,2] ou si p in [2,infty). Nous comparons aussi les fonctions coniques aux fonctions de Littlewood-Paley-Stein classiques.