Approche bayésienne pour la sélection de modèles : application à la restauration d’image

Abstract

L’inversion consiste à reconstruire des objets d’intérêt à partir de données acquises au travers d’un système d’observation. Dans ces travaux, nous nous penchons sur la déconvolution d’image. Les données observées constituent une version dégradée de l’objet, altéré par le système (flou et bruit). A cause de la perte d’informations engendrée, le problème devient alors mal conditionné. Une solution est de régulariser dans un cadre bayésien : en se basant sur des modèles, on introduit de l’information a priori sur les inconnues. Se posent alors les questions suivantes : comment comparer les modèles candidats et choisir le meilleur ? Sur quel critère faut-il s’appuyer ? A quelles caractéristiques ou quantités doit-on se fier ? Ces travaux présentent une méthode de comparaison et de sélection automatique de modèles, fondée sur la théorie de la décision bayésienne. La démarche consiste à sélectionner le modèle qui maximise la probabilité a posteriori. Pour calculer ces dernières, on a besoin de connaître une quantité primordiale : l’évidence. Elle s’obtient en marginalisant la loi jointe par rapport aux inconnus : l’image et les hyperparamètres. Les dépendances complexes entre les variables et la grande dimension de l’image rendent le calcul analytique de l’intégrale impossible. On a donc recours à des méthodes numériques. Dans cette première étude, on s’intéresse au cas gaussien circulant. Cela permet, d’une part, d’avoir une expression analytique de l’intégrale sur l’image, et d’autre part, de faciliter la manipulation des matrices de covariances. Plusieurs méthodes sont mises en œuvre comme l’algorithme du Chib couplé à une chaîne de Gibbs, les power posteriors, ou encore la moyenne harmonique. Les méthodes sont ensuite comparées pour déterminer lesquelles sont les plus adéquates au problème dela restauration d’image.