Eléments finis d'ordre élevé pour l'équation de Helmholtz convectée dans des domaines radiaux et axisymétriques. Application à l'héliosismologie

Abstract

Ce document traite la résolution de l'équation de Helmholtz convectée pour des géométries radiales ou axisymétriques. Après avoir établi le problème considéré et les équations associées, nous proposons une méthode numérique adaptée pour les géométries qui varient uniquement dans la direction radiale. Ensuite nous proposons une méthode pour les géométries présentant une symétrie axiale. Dans ces deux situations, la solution est calculée avec des éléments finis après l'avoir décomposée sur une base de modes orthogonaux : les harmoniques sphériques pour la géométrie radiale et les modes de Fourier pour la géométrie axi-symétrique. Le nombre de modes nécessaires dépend de la configuration (et en particulier de la localisation) de la source. Les deux méthodes sont testées sur le calcul de la fonction de Green, pour laquelle des solutions analytiques sont disponibles pour une comparaison quantitative. Les méthodes sont ensuite comparées avec les éléments finis classiques en 3D, et les performances sont comparées sur un cas test académique, montrant les avantages de chaque méthode en termes de temps de calcul et d'utilisation mémoire. Dans le contexte de l'héliosismologie, les équations de Galbrun sont une bonne modélisation de la perturbation du déplacement fluide dans le Soleil. Nous montrons que sous certaines hypothèses sur le milieu quasi-stationnaire, les équations de Galbrun peuvent se simplifier en une équation qui admet la même formulation variationnelle que l'équation traitée dans la première partie de ce document. Des simulations numériques sont effectuées dans cette situation réaliste, et les différentes méthodes de résolution sont comparées.