Super-convergence en norme infinie du gradient pour la méthode de Shortley-Weller.

Abstract

Nous présentons dans ce rapport une preuve de la super-convergence à l'ordre deux du gradient, en norme max pour la méthode de Shortley-Weller.En effet, avec cette m\'ethode le gradient discret converge à l'ordre deux même si l'erreur de troncature près du bord du domaine est d'ordre un seulement, et que la solution elle-même ne converge aussi qu'à l'ordre deux.La preuve est réalisée avec une technique de différences finies, inspirée par l'article de Ciarlet [1], et utilisant un principe du maximum discret pour obtenir des estimations des coefficients de la matrice inverse.Elle utilise une formulation discrète de l'équation de Poisson pour le gradient discret, avec des conditions au bord de Dirichlet à l'ordre deux.Cette approche par diff\'erences finies permet d'obtenir des résultats de convergence locaux, en fonction des différentes valeurs de l'erreur de troncature et de la position du point considéré sur le domaine de calcul. Elle permet aussi d'obtenir des résultats en norme max.