Polynômes de Ore en une variable

Abstract

Les polynômes de Ore sont une variante non commutative des polynômes classiques qui interviennent en algèbre semi-linéaire et dans l'´ etude deséquationsdeséquations différentielles linéaires de la mêmemanì ere que les polynômes usuels interviennent en algèbre linéaire (polynômes d'endomorphisme, polynômes caractéristiques, etc.) En particulier, la factorisation des po-lynômes de Ore est liée de très prèsprès`prèsà la réduction des endomorphismes semi-linéaires etàet`età celle deséquationsdeséquations différentielles linéaires. Le but de ce cours est définir les polynômes de Ore, d'´ etablir leurs principales propriétés arithmétiques et d'´ etudier leur factorisation. Nous mettons en place tout un arnesal théorique, centrée sur la notion d'algèbre d'Azumaya, qui permet, dans certains cas, d'obtenir des théorèmes de structure donnant des renseignements très précis sur la forme des factorisations des polynômes de Ore. Le cours est illustré de nombreux exemples.