TROU SPECTRAL LOCAL POUR DES ACTIONS DE TRANSLATIONS

Abstract

Le but de ce texte est de présenter une notion, appelée trou spectral local, qui porte sur une action de groupe sur un espace mesuré, et qui implique que l'action est ergodique en un sens fort. Cette notion est reliée au comportement de certaines marches aléatoires associéesà l'action et au problème de Banach-Ruziewicz. Je vais expliciter ces liens et donner des exemples concrets d'actions vérifiant cette condition de trou spectral local. La première moitié de ce texte présentera les principaux résultats, exemples et applications alors que la deuxième moitié donnera une preuve plus détaillée de l'un des résultats. Les résultats présentés sont obtenus en collaboration avec A. Ioana et A. Salehi-Golsefidi. 1. Le cadre général Dans tout ce texte, on s'intéresseraà une action Γ (X, µ) d'un groupe Γ (dis-cret, dénombrable) sur un espace mesuré (X, µ), avec l'hypothèse que la mesure µ est invariante. Donnons tout de suite les exemples qui vont nous intéresser: (1) Pour d ≥ 1, n'importe quel groupe d'isométries Γ de la sphère S d (ou de l'espace euclidien R d) préserve la mesure de Lebesgue. (2) Plus généralement, si G est un groupe localement compact et Γ est un sous-groupe dénombrable, alors l'action de translationà gauche de Γ sur G préserve la mesure de Haar (1). Une telle action est dite ergodique si les seuls sous-ensembles mesurables Y ⊂ X qui sont globalement Γ-invariants sont nuls ou co-nuls: µ(Y) = 0 ou µ(X \ Y) = 0. Dans l'exemple (2) ci-dessus, l'action est ergodique si et seulement si Γ est dense dans G. Le concept de trou spectral local qui nous intéresse est reliéà un renforcement de la notion d'ergodicité, introduit par Schmidt. Classification mathématique par sujets (2000).-22D40 [22E30, 22E46, 22F10, 28D05]. Mots clefs.-Trou spectral, groupes localement compacts, problème de Banach-Ruziewicz, ergod-icité forte. (1) L'exemple (1) correspond en faità une action de translation sur un espace homogène Γ G/H.