Espaces de fonctions holomorphes et espace atteignable de l'équation de la chaleur

Abstract

Cette thèse est consacrée à la description de l'espace atteignable de l'équation de la chaleur à l'aide de méthodes de l'analyse complexe moderne. Ce problème central de la théorie du contrôle est vieux de 50 ans et a captivé de nombreuses recherches depuis les travaux pionniers de Fattorini et Russel en 1971. Dans ce travail, on s'intéresse à l'équation de la chaleur 1-D sur un segment avec contrôle de Dirichlet au bord.Dans une première partie, on démontre à l'aide d'un théorème de type Paley-Wiener que l'espace atteignable est égal à la somme de deux espaces de Bergman, puis qu'il contient un espace de Smirnov-Zygmund en étudiant la régularité de la transformée de Cauchy.Dans une deuxième partie, en utilisant des méthodes de noyaux reproduisants et de d-bar, on résout le problème de séparation de singularités (problème de type Cousin) pour l'espace de Bergman dans plusieurs configurations. On en déduit ainsi une caractérisation définitive de l'espace atteignable comme espace de Bergman sur un carré.Enfin, la dernière partie est consacrée à l'équation de chaleur avec un potentiel quadratique et à son espace atteignable.