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dc.contributor.advisorMarc Arnaudon
dc.contributor.advisorMichel Bonnefont
hal.structure.identifierInstitut de Mathématiques de Bordeaux [IMB]
dc.contributor.authorHUGUET, Baptiste
dc.contributor.otherChristian Léonard [Président]
dc.contributor.otherAna Bela Ferreira Cruzeiro [Rapporteur]
dc.contributor.otherArnaud Guillin [Rapporteur]
dc.contributor.otherXu-Mei Li
dc.contributor.otherJürgen Angst
dc.contributor.otherAdrien Richou
dc.date.accessioned2024-04-04T02:47:00Z
dc.date.available2024-04-04T02:47:00Z
dc.identifier.urihttps://oskar-bordeaux.fr/handle/20.500.12278/191603
dc.identifier.nnt2020BORD0302
dc.description.abstractCette thèse explore les liens entre le calcul stochastique et l’analyse, dans un cadre géométrique riemannien. Nous nous attelons à étendre des résultats connus et des méthodes rodées, pour l’espace euclidien Rn, en de nouveaux résultats et méthodes pour les variétés riemanniennes. Les interactions considérés dans cette thèse seront de deux natures. D’une part, nous étudions l’interprétation stochastique des semi-groupes, de l’équation de la chaleur et ses applications aux inégalités fonctionnelles telles que Poincaré and FKG. Nous étudions les entrelacements entre diffusion et transport parallèle déformé, entre générateurs et entre semi-groupes. Le critère classique assurant ces relations est le critère de Bakry-Émery. Notre contribution principale est une généralisation de ce critère par la méthode de torsion (twisting). Nos donnons une condition générale pour obtenir des résultats d’entrelacement, d’inégalité fonctionnelle ou de trou spectral. Nous présentons comment utiliser ce résultat théorique sur des exemples explicites. Notre méthode illustre alors son efficacité en améliorant les résultats précédant sur les mesures de Cauchy généralisée. D’autre part, nous étudions le problème de Brenier-Schrödinger, vu comme la relaxation du problème de minimisation associé aux équations de Navier-Stokes. Notre étude se place dans le cadre des variétés compactes à bords et nous traitons deux principales questions : les solutions du problèmes de Brenier-Schrödinger sont-elles solutions (et en quel sens?) des équations de Navier-Stokes et le problème de Brenier-Schrödinger admet-il une (unique?) solution? Ce travail généralise des résultats précédents dans le cadre euclidien ou le cadre du tore Tn. Nos deux principales contributions sont l’étude du comportement des vitesses aux frontières du domaine et la méthode de quotient qui permet d’obtenir des espaces sur lequel le problème de Brenier-Schrödinger incompressible admet une unique solution.
dc.description.abstractEnThis thesis explores the links between stochastic calculus and analysis, in a Riemannian geometric framework. We are working on extending known results and tried and tested methods for the Euclidean space Rn into new results and methods for Riemannian manifolds. We consider two kinds of interactions. On the one hand, we study the stochastic interpretation of semi-groups and its applications to functional inequalities such as Poincaré and FKG. We study intertwining relations between diffusion and deformed parallel transport, between generators and between semi-groups. The classical criterion ensuring these relations is the Bakry-Émery criterion. Our main contribution is a generalisation of this criterion by the twisting method. We give a general condition to obtain intertwining, functional inequality and spectral gap results. We present how to use this theoretical result on explicit examples. Our method illustrates its efficiency by improving previously known results on generalized Cauchy measures. On the other hand, we study the Brenier-Schrödinger problem, seen as a relaxation of the minimization problem associated with Navier-Stokes equations. Our study takes place within the framework of compact manifolds with boundaries and we address twomain questions. Are the solutions of the Brenier-Schrödinger problem solutions of the Navier-Stokes equations and in which sense? Does the Brenier-Schrödinger problem admit a (unique?) solution? This work generalises previously known results on the Euclidean and torus framework. Our two main contributions are the study of the behaviour of velocities at the boundaries of the domain and the quotient method which allows to obtain spaces on which the incompressible Brenier-Schrödinger problem admits a unique solution.
dc.language.isoen
dc.subjectVariété riemannienne
dc.subjectProblème de Brenier-Schrödinger
dc.subjectInégalité de Poincaré
dc.subjectEntrelacement
dc.subjectDiffusion
dc.subjectSemi-groupe
dc.subject.enRiemannian manifold
dc.subject.enBrenier-Schrödinger problem
dc.subject.enPoincaré inequality
dc.subject.enIntertwining
dc.subject.enDiffusion
dc.subject.enSemi-group
dc.titleCalcul stochastique dans les variétés et application aux inégalités fonctionnelles
dc.title.enStochastic calculus on manifold and application to functional inequalities
dc.typeThèses de doctorat
dc.subject.halMathématiques [math]/Géométrie différentielle [math.DG]
bordeaux.hal.laboratoriesInstitut de Mathématiques de Bordeaux (IMB) - UMR 5251*
bordeaux.institutionUniversité de Bordeaux
bordeaux.institutionBordeaux INP
bordeaux.institutionCNRS
bordeaux.type.institutionUniversité de Bordeaux
bordeaux.ecole.doctoraleÉcole doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
hal.identifiertel-03162530
hal.version1
hal.origin.linkhttps://hal.archives-ouvertes.fr//tel-03162530v1
bordeaux.COinSctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info:ofi/fmt:kev:mtx:journal&rft.title=Calcul%20stochastique%20dans%20les%20vari%C3%A9t%C3%A9s%20et%20application%20aux%20in%C3%A9galit%C3%A9s%20fonctionnelles&rft.atitle=Calcul%20stochastique%20dans%20les%20vari%C3%A9t%C3%A9s%20et%20application%20aux%20in%C3%A9galit%C3%A9s%20fonctionnelles&rft.au=HUGUET,%20Baptiste&rft.genre=unknown


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