Schéma ADER sur des Maillages Overset avec Transmission Compacte et Hyper-réduction : Application aux Équations de Navier-Stokes Incompressibles

Abstract

Dans cette thèse, nous proposons un schéma éléments finis (FEM) / volumes finis (FVM) spatio-temporel sur des grilles Chimera mobiles pour un problème général d'advection-diffusion linéaire et non linéaire. Une attention particulière est accordée aux zones de superposition des grilles afin de concevoir un stencil de discrétisation compact et précis pour échanger des informations entre les différents patchs de maillage. Comme dans la méthode ADER, les équations sont discrétisées sur un maillage spatio-temporel. Ainsi, au lieu de conditions de transmission spatiale dépendant du temps entre des blocs en mouvement relatif, nous définissons des polynômes d'interpolation sur des cellules spatio-temporelles se croisant arbitrairement aux frontières des blocs. Grâce à ce schéma, une approche FEM-prédicteur/FVM-correcteur mesh-free est utilisée pour représenter la solution. Dans ce cadre de discrétisation, une nouvelle vitesse de stabilisation locale de Lax-Friedrichs (LLF) spatio-temporelle est définie en considérant à la fois la nature advective et diffusive de l'équation. Les illustrations numériques pour les systèmes linéaires et non linéaires montrent que les mailles mobiles de background et foreground n'introduisent pas de perturbations parasites dans la solution, atteignant uniformément le deuxième ordre de précision en espace et en temps. Il est démontré que plusieurs mailles du foreground, pouvant se superposer et ayant des déplacements indépendants, peuvent être utilisées grâce à cette approche.La principale application de ce schéma concerne les équations de Navier-Stokes afin de simuler des écoulements visqueux incompressibles dans un domaine évolutif. Dans ce cas, les grilles évolutives spatio-temporelles utilisées sont capables de prendre en compte à la fois les objets éventuellement en mouvement et l'évolution du domaine. Puisqu'une méthode classique à pas fractionnaire est adoptée, un problème de Poisson pour la pression doit être résolu numériquement. Ainsi, pour la discrétisation de l'opérateur de gradient, une technique hybride est définie afin d'encoder automatiquement la configuration locale particulière de superposition aux interfaces de deux blocs. Ceci évite une étape ultérieure d'interpolation à l'interface pour échanger des informations entre différents blocs. La méthode qui en résulte est précise au second ordre pour la vitesse et la pression en espace et en temps. La précision et l'efficacité de la méthode sont testées par des simulations de référence.Enfin, un schéma ADER réduit et hyper-réduit pour les équations d'advection-diffusion générales sur des grilles overset est présenté. Ce schéma, basé sur l'approche de la Décomposition Orthogonale Propre (POD), permet de réduire les coûts de calcul à la fois pour trouver la solution numérique et pour calculer les intégrales impliquées dans la définition des matrices au niveau discret. Dans une étape d'apprentissage offline, on construit un sous-espace réduit approprié sur lequel la solution réduite est ensuite projetée. Successivement, dans l'étape online, une solution réduite numérique est trouvée par rapport à un paramètre définissant l'évolution du domaine. Afin de réduire les coûts de calcul des intégrales numériques via la règle de quadrature, une étape supplémentaire d'apprentissage offline est effectuée. Elle permet de définir un ensemble largement réduit de nœuds de quadrature pour tout mouvement admissible du maillage. L'approche se situe dans un cadre de décomposition de domaine (DD) : par conséquent, sur le maillage de foreground, la solution réduite est récupérée alors que dans le maillage de background, la solution est haute-fidélité. La performance du schéma proposé est testée sur des problèmes linéaires et non linéaires pour différents mouvements du domaine de calcul. Les résultats montrent que les coûts de calcul sont réduits à mathcal{O}(1) degrés de liberté en préservant la précision de la solution.