Espaces de fonctions holomorphes, ensembles dominants

Abstract

Une catégorie importante de problèmes en théorie du signal consiste à reconstruire un signal donné à partir d’une information partielle, par exemple des valeurs en des points ou sur un sous-ensemble. Souvent, ces signaux peuvent être modélisés à l’aide de fonctions holomorphes appartenant à des espaces dont la norme est donnée par une intégration sur un domaine donné. Les ensembles dominants sont des sous-ensembles du domaine de définition commun des fonctions de l’espace sur lesquels il suffit d’intégrer pour retrouver la norme d’une fonction. Ces ensembles ont été étudiés dans de larges classes d'espaces de fonctions holomorphes. Dans tous ces espaces, il s'avère qu'une notion de relative densité caractérise les ensembles dominants. Dans ce contexte, il est utile de savoir si nous pouvons établir un lien entre la densité de l'ensemble et la constante d'échantillonnage. En effet, connaitre ce lien permet d'estimer le coût de l'échantillonnage en fonction de la précision espérée de la norme de la fonction. Kovrijkine a résolu ce problème pour les espaces de Paley-Wiener au début des années 2000. Son idée était d'établir des estimations locales sur des intervalles ou des disques de taille donnée, et de montrer que ces intervalles ou disques sont suffisamment nombreux pour pouvoir récupérer la norme de la fonction. Il a montré que dans cet espace, la constante d'échantillonnage dépend polynomialement de la densité. Pour cela, il utilise l’inégalité de Remez qui permet d'estimer un polynôme donné sur un certain domaine sachant que ce polynôme est uniformément contrôlé sur un sous-ensemble, ainsi que l’inégalité de Bernstein. Dans cette thèse, nous étudions les constantes d'échantillonnage pour les ensembles dominants dans les espaces de Bergman et les espaces de Fock généralisés, et nous montrons que dans ces espaces aussi il y a une dépendance polynomiale de la constante d’échantillonnage en fonction de la densité. Tout en suivant l’idée originale de Kovrijkine, nous développons une nouvelle méthode permettant de s’affranchir de l’inégalité de Bernstein qui n’est plus vérifiée dans les espaces de Bergman et de Fock. Les inégalités de Remez ont été remplacées par des inégalités d'Andrievskii-Ruscheweyh qui permettent de considérer des ensembles planaires dans les espaces de Bergman et de Fock généralisé. Notre méthode s’applique également aux espaces de Paley-Wiener déjà traités par Kovrijkine.