Autour de la marche aléatoire de l'éléphant

Abstract

Cette thèse porte sur l'étude de la marche aléatoire de l'éléphant. Cette marche aléatoire s'appelle ainsi car elle possède un paramètre de mémoire, et il est bien connu que les éléphants ont une excellente mémoire et se souviennent de tous les endroits qu'ils ont visités. On va établir des résultats probabilistes de types lois des grands nombres et normalité asymptotique, mais aussi des lois du logarithme itéré et des lois fortes quadratiques à l'aide de martingales.On commence par généraliser la marche de l'éléphant pour toute dimension en utilisant des processus de comptage des pas dans chaque direction de la dimension. On s'intéresse ensuite au comportement asymptotique du centre de masse de la marche aléatoire de l'éléphant. On est amené à introduire deux martingales de sorte que leur étude simultanée permet d'obtenir des résultats analogues à ceux de la marche de l'éléphant. On réutilise ensuite cette approche afin d'étudier la marche de l'éléphant avec mémoire renforcée linéairement et la marche aléatoire de l'éléphant avec une amnésie progressive. On propose aussi une étude statistique explicite de l'estimation de la mémoire. Enfin, on présente une approche martingale pour l'étude des urnes de Pólya à deux couleurs.