Exact controllability for systems describing plate vibrations. A perturbation approach

Abstract

L'objectif de cet article est de prouver de nouvelles propriétés de contrôlabilité exacte de systèmes décrits par des perturbations de l'équation des plaques de Kirchhoff . Nous considérons d'abord les systèmes décrits par une équation de plaque abstraite avec un opérateur de contrôle borné. Le générateur de ces systèmes est perturbé par des opérateurs bornés qui ne sont pas nécessairement compacts, donc hors du domaine d'application des arguments compacité-unicité. Notre premier résultat principal est abstrait et peut être énoncé de manière informelle comme suit : si le système décrit par l'équation d'onde abstraite non perturbée correspondante, avec le même opérateur de contrôle, est exactement contrôlable (dans un certain temps), alors le système de plaques perturbées considéré est exactement contrôlable en un temps arbitrairement petit. La méthodologie employée est basée, en particulier, sur des tests de type Hautus dépendants de la fréquence pour des systèmes avec des opérateurs anti-adjoints. Lorsqu'ils sont appliqués à des systèmes décrits par les équations classiques de Kirchhoff, nos résultats abstraits, combinés à certaines estimations elliptiques de type Carleman, donnent une contrôlabilité exacte en un temps arbitrairement petit, à condition que le système décrit par l'équation d'onde dans le même domaine spatial et avec le même l'opérateur de contrôle soit exactement contrôlable. Les mêmes résultats abstraits peuvent être utilisés pour prouver la contrôlabilité exacte du système obtenu en linéarisant l'équation de la plaque de von Kármán autour d'un état stationnaire analytique réel. Ceci conduit, via une méthode de pont fixe, à notre second résultat principal : le système non linéaire décrit par les équations de von Kármán est localement exactement contrôlable autour de tout état stationnaire défini par une fonction analytique réelle.