Modélisation mathématique de l'électroporation des membranes bilipidiques : une approche par champ de phase

Abstract

Cette thèse est dédiée à la modélisation de l'électroporation d'une membrane bilipidique. L'électroporation consiste à créer des pores dans les membranes cellulaires à l'aide d'impulsions électriques intenses et brèves. L'électroporation réversible permet l'entrée de molécules non perméables dans le cytoplasme des cellules sans les tuer, tandis que l'électroporation irréversible entraîne la mort cellulaire dans la zone ciblée. En raison de la taille des cellules (diamètre de 20 [µm]) et de la durée de l'impulsion (10 [ns] à 100 [µs]), une étude expérimentale précise de ce phénomène est pratiquement impossible, ce qui justifie l'introduction de modèles mathématiques. Bien que de nombreux modèles aient été proposés, aucun n'a réussi à expliquer de manière complète les multiples caractéristiques observées expérimentalement. L'objectif de cette thèse est de présenter un nouveau modèle de champ de phase pour l'électroporation. Ce modèle physique comprend l'équation d'Allen-Cahn pour la teneur en eau de la membrane et une équation aux dérivées partielles non locale pour le potentiel transmembranaire. Dans un premier temps, nous procédons à une analyse mathématique approfondie de notre modèle. Cela inclut une étude détaillée des opérateurs Dirichlet-to-Neumann non locaux impliqués dans deux configurations simples (une membrane sphérique et une membrane périodique plate), permettant ainsi une comparaison des constantes des temps entre les deux. De plus, nous effectuons une analyse de stabilité linéaire de notre modèle, mettant en évidence les effets du couplage des équations du modèle. Pour estimer les paramètres du modèle, nous comparons également la fonctionnelle d'énergie de notre modèle avec celles d'autres modèles physiques correspondant actuellement l'état de l'art. Dans un deuxième temps, nous concevons un schéma numérique d'ordre 2 en temps. Ce schéma repose sur une transformée de Fourier rapide et une méthode de splitting de Strang. Cette méthode est très puissante en termes de temps de calcul et nous permet de réaliser une analyse de sensibilité des paramètres du modèle. Enfin, nous confrontons notre modèle au modèle d'électroporation le plus populaire dans un scénario réaliste ainsi qu'à des données expérimentales concernant des impulsions de l'ordre de la nanoseconde appliquées à une cellule en suspension.