Factorisation des opérateurs différentiels en caractéristique positive

Abstract

L’étude des opérateurs différentiels linéaires est une partie importante de l’étude algébrique deséquations différentielles. Les anneaux d’opérateurs différentiels linéaires partagent de nombreusespropriétés avec les anneaux de polynômes, mais le caractère non commutatif de la multiplicationrend la conception d’algorithmes de factorisation plus compliquée. L’objet de cette thèse est ledéveloppement d’un algorithme calculant un facteur droit irréductible d’un opérateur différentiellinéaire donné dont les coefficients sont des éléments d’un corps de fonctions algébriques de car-actéristique p. La situation diffère grandement du problème analogue en caractéristique 0 car lescorps de fonctions algébriques de caractéristique positive sont de dimension finie sur leur corps desconstantes. De ceci découle une structure additionnelle d’algèbre d’Azumaya qui fournit des outilssupplémentaires pour attaquer le problème de la factorisation.Une première étape est le calcul de la p-courbure, un invariant classique de première importancedes opérateurs différentiels en caractéristique p. Le premier résultat significatif de cette thèse estun algorithme calculant, pour un opérateur différentiel L en caractéristique 0 et un entier N ∈ N ∗donnés, tous les polynômes caractéristiques des p-courbures des réductions de L modulo p, pourtous les nombres premiers p ⩽ N .La deuxième partie de la thèse est consacrée à la factorisation en elle-même. Nous utilisonsla structure d’algèbre d’Azumaya pour montrer que la recherche de facteurs irréductibles à droiterevient à la résolution de l’équation de p-Riccatif^{ (p−1) } + f^p = a^pdans K[a], où a est une certaine fonction algébrique sur K.Cette observation nous permet de développer deux algorithmes importants. Le premier est uneapplication du principe global-local conduisant à un test d’irréductibilité de complexité polynomialepour les opérateurs différentiels. Le second est un algorithme de résolution de l’équation de p-Riccati utilisant plusieurs outils de la géométrie algébriques pour les courbes, dont les espaces deRiemann-Roch et les groupes de Picard. Nous effectuons une analyse de complexité approfondie decet algorithme et montrons que l’équation de p-Riccati admet toujours une solution dont la tailleest comparable à celle du paramètre a. Cet algorithme rend en particulier possible la factorisationdes opérateurs centraux (un cas qui a souvent été laissée de côté par le passé) et diminue la tailledes facteurs droits irréductibles d’opérateurs différentiels linéaires d’un facteur p en comparaisondes travaux précédents.On en déduit finalement un algorithme de factorisation complet pour les opérateurs différentielslinéaires de caractéristique positive.