Optimal monodomain approximations of the bidomain equations used in cardiac electrophysiology

Abstract

Le modèle bidomaine est le plus complet pour représenter la propagation des potentiels d'action cardiaque. Le modèle monodomaine est une simplification de celui-ci, moins coûteuse numériquement, mais valable seulement sous une hypothèse d'égale anisotropie. Nous proposons des approximations optimales de type monodomaine d'un modèle bidomaine fixé. Nous montrons d'abord que l'erreur entre les solutions du bidomaine et du monodomaine est bornée par la différence $\|B-A\|$ entre les opérateurs correspondants. Un opérateur monodomaine optimal doit donc minimiser la distance $\|B-A\|$, ce qui est équivalent dans $\rr^d$ à minimiser l'erreur entre les symboles des opérateurs en norme $L^p$. On peut aussi comparer ces symboles dans une direction donnée, ce qui revient à comparer la propagation des ondes planes dans cette direction. Nous démontrons qu'un modèle monodomaine peut propager $d$ ondes planes d'un modèle bidomaine. Puis nous résolvons le problème de minimisation sur les symboles en norme $L^\infty$ et $L^2$. Dans le premier cas, on minimise donc l'erreur de propagation des ondes planes de manière uniforme sur les directions. Nous comparons ces approximations avec celles de la littérature sur deux séries de cas tests. D'abord avec des conditions aux limites périodiques pour retrouver les résultats démontrés dans $\rr^d$, puis sur un domaine borné avec conditions de Neumann homogènes. Dans le premier cas, l'erreur de propagation est corrélée à la distance entre les symboles, alors que dans le second, les conditions aux limites dirigent le front et perturbent les résultats théoriques.