Forêts aléatoires pour données longitudinales de grande dimension

Abstract

Introduites par Leo Breiman en 2001, les forêts aléatoires sont une méthode d’apprentissage statistique largement utilisée dans de nombreux domaines de recherche scientifiques tant pour sa capacité à décrire des relations complexes entre des variables explicatives et une variable réponse que pour sa faculté à traiter des données de grande dimension. Dans de nombreuses applications en santé, on dispose de mesures répétées au cours du temps. On parle alors de données longitudinales. Les corrélations induites entre les mesures d’un même individu à différents temps doivent être prises en compte, ce qui n’est pas le cas dans la méthode classique des forêts aléatoires. L’objectif de cette thèse est d’adapter cette méthode à l’analyse des données longitudinales dans un contexte de grande dimension. Pour ce faire, deux approches sont proposées. La première s’appuie sur l’utilisation d’un modèle semi-paramétrique à effets mixtes qui permet de prendre en compte la structure de covariance intra-individuelle dans la construction de la forêt aléatoire. Cette méthode a été appliquée à un essai vaccinal contre le VIH et a permis de sélectionner 21 transcrits de gènes pour lesquels l’association avec la charge virale du VIH était en adéquation avec les résultats observés lors de l’infection primaire. La seconde se place dans le cadre plus général de la régression sur des espaces métriques. Dans ce contexte, les données répétées sont traitées comme des courbes. Nous introduisons alors le concept de forêts aléatoires de Fréchet qui permet d’apprendre des relations entre des variables de natures diverses, comme des courbes, des images ou des formes, dans des espaces métriques non ordonnés. Nous décrivons une nouvelle manière de découper les nœuds des arbres constituant la forêt de Fréchet puis nous détaillons la procédure de prédiction pour une variable de sortie à valeurs dans un espace non euclidien. Les notions classiques d’erreur OOB ainsi que d’importance des variables sont adaptées aux forêts aléatoires de Fréchet. Un théorème de consistance pour les régressogrammes de Fréchet utilisant des partitions données-dépendantes est énoncé puis appliqué aux arbres de Fréchet purement uniformément aléatoires. Une étude de simulations est ensuite menée pour étudier le comportement de cette nouvelle méthode dans le cadre de la régression sur courbes, images et scalaires. Enfin, la méthode des forêts aléatoires de Fréchet est appliquée à l’analyse de deux essais vaccinaux de grande dimension sur le VIH.