Modelling, analysis and control of some water waves-rigid body interactions

Abstract

Cette thèse porte sur l'étude de certains modèles d'interaction fluide-structure dans des régimes d'eau peu profonde.En particulier, le manuscrit apporte des contributions sur les interactions entre un fluide et des corps rigides fixes et flottants.Dans une première partie, nous commençons par étudier la modélisation mathématique et les simulations d'une colonne d'eau oscillante. Dans ce dispositif, les vagues viennent du rivage, heurtent une marche basse, puis atteignent une chambre pour changer le volume d'air et entraîner une turbine qui produit de l'électricité.Dans cette première approche, une pression atmosphérique constante est supposée sur la surface libre du fluide à l'intérieur de la chambre.Les vagues régies par les équations unidimensionnelles des eaux peu profondes en présence de ce dispositif sont essentiellement reformulées sous la forme de deux problèmes de transmission : le premier est associé à une marche devant la structure, et le second est lié à l'interaction vagues-structure.D'autre part, en considérant la notion d'invariants de Riemann pour obtenir la version discrétisée des conditions de transmission, nous implémentons le schéma de Lax-Friedrichs pour obtenir des solutions numériques du modèle.De plus, en utilisant le concept de contrôlabilité du profil nodal, nous abordons le problème de la contrôlabilité frontière du système.Enfin, nous clôturons la première partie de la thèse en proposant un deuxième modèle non linéaire d'un dispositif à colonne d'eau oscillante impliquant une condition de transmission qui décrit un flux de pression d'air dépendant du temps à l'intérieur de la chambre, qui est obtenu en considérant l'équation de Bernoulli à surface libre et les propriétés relatives au régime des eaux peu profondes.Dans la deuxième partie, nous étudions quelques modèles décrivant le mouvement vertical d'un solide flottant à la surface libre d'un fluide visqueux peu profond.Cette structure rigide est supposée être contrôlée par une force verticale exercée via un actionneur.Nous commençons par prouver que le modèle est bien posé en considérant des espaces fonctionnels adéquats et des opérateurs convenables entre eux. En obtenant une forme explicite de la fonction de transfert associée, nous prouvons quelques résultats sur la stabilité input-output du système.Enfin, nous étudions une équation intégro-différentielle de type Cummins décrivant le mouvement d'une structure partiellement immergée flottant dans un fluide visqueux sur un domaine non-borné.Sur la base des résultats de stabilité de Matignon pour les systèmes fractionnaires, on trouve des solutions explicites du système, conduisant à une description precise de leur comportement en temps long.