Lois de conservation en Mécanique des Milieux Discrets

Abstract

La modélisation physique des effets de compressibilité, de viscosité, de dilatation thermique dans les milieux fluides ou solides est réalisée à partir de la loi de Newton sur la base de la Mécanique des Milieux Discrets [8]. L'observation des résultats d'expériences élémentaires de Couette, de Poiseuille ou sur l'équilibre d'un fluide dans une cavité permettent une modélisation des notions de pression et de viscosité comme les composantes essentielles des lois de conservation de la quantité de mouvement ou du flux de chaleur. Ces effets introduisent deux coefficients, la résistance à la compression et la viscosité de rotation, caractéristiques du milieu, positifs et parfaitement mesurables. Deux potentiels associés à la quantité d'accélération correspondant aux effets de pression et de viscosité permettent l'accumulation des contraintes, un potentiel scalaire p et un potentiel vectoriel !. Ces deux potentiels définissent formellement une décomposition de Hodge-Helmholtz de la quantité de mouvement en une partie à rotationnel nul et une partie à divergence nulle. L'approche basée sur la géométrie différentielle utilise le théorème de Stokes pour dériver les lois de conservation vectorielles, quantité de mouvement et flux de chaleur, et le théorème de la divergence pour les lois de conservation scalaires, énergie et masse. La vitesse pour les fluides, le déplacement pour les solides et le flux ne sont définis que par leurs seules composantes. Les lois de conservation discrètes obtenues ne nécessitent pas le recours aux tenseurs d'ordre supérieurs et s'écrivent uniquement sous forme vectorielle ; de ce fait la formulation n'introduit aucun coefficient qui ne soit pas strictement défini. Les lois de conservation obtenues sont analysées en comparaison des équations de la Mécanique des Milieux Continus.