Une méthode cinématique de pénalité-projection vectorielle pour l'écoulement incompressible à densité variable

Abstract

Résumé. Une méthode cinématique de pénalité-projection vectorielle pour l' écoulement incompressiblè à densité variable. On présente dans cette Note une nouvelle version de la méthode de splitting par pénalité-projection vectorielle décrite dans [1] pour le calcul des écoulements incompressibles à masse volumique et viscosité variables. Le principal résultat est de rendre la correction vectorielle de vitesse complètement indépendante de la masse volumique ρ. Cette étape devient donc purement cinématique et correspond à une décomposition rapide de Helmholtz-Hodge proposée dans [2]. On montre que l' étape dynamique de correction du gradient de pression peut être rapide et localement consistante sur des maillages généralisés de type MAC non structurés. Version française abrégée. L'idée clé pour la construction de cette nouvelle méthode (K-VPP ε) repose sur les décompositions rapides de Helmholtz-Hodge en domaine borné proposées dans [2] et analysées dans [3]. L'étape de correction vectorielle en vitesse v est rendue purement cinématique. Elle correspond à une méthode de projection à divergence nulle approchée pour obtenir la composante irrotationnelle $\widehat{v} := Grad φ$ du champ de vitesse prédit $\widetilde{v}$. L'étape dynamique de correction du gradient de pression est alors obtenue en introduisant le concept de densité inertielle $\bar{ρ}$ calculée sur chaque arête du maillage principal et reliant les sommets des inconnues scalaires p, φ et ρ. On montre qu'il existe $\bar{ρ}$ satisfaisant l'équation de consistance locale : $Grad(\bar{ρ} φ) = ρ Grad φ = ρ \widehat{v}$, et permettant de recouvrer un gradient de pression entre les sommets. En pratique, comme la condition de compatibilité associée est naturellement satisfaite pour les maillages de type MAC, le calcul de $\bar{ρ}$ est effectué facilement et de façon rapide à partir de ρ et d'une fonction de partage α, tandis que φ est reconstruit à partir de son gradient connu sur les arêtes.