Équation de réaction-diffusion avec advection non-linéaire et non-locale appliquée à la co-culture cellulaire

Abstract

Cette thèse est consacrée à l’étude d’une classe d’équations de réaction-diffusion avec advection non-locale. La motivation vient du mouvement cellulaire avec le phénomène de ségrégation observé dans des expérimentations de co-culture cellulaire. La première partie de la thèse développe principalement le cadre théorique de notre modèle, à savoir le caractère bien posé du problème et le comportement asymptotique des solutions dans les cas d'une ou plusieurs espèces.Dans le Chapitre 1, nous montrons qu'une équation scalaire avec un noyau non-local ayant la forme d'une fonction étagée, peut induire des bifurcations de Turing et de Turing-Hopf avec le nombre d’ondes dominant aussi grand que souhaité. Nous montrons que les propriétés de bifurcation de l'état stable homogène sont intimement liées aux coefficients de Fourier du noyau non-local.Dans le Chapitre 2, nous étudions un modèle d'advection non-local à deux espèces avec inhibition de contact lorsque la viscosité est égale à zéro. En employant la notion de solution intégrée le long des caractéristiques, nous pouvons rigoureusement démontrer le caractère bien posé du problème ainsi que la propriété de ségrégation d'un tel système. Par ailleurs, dans le cadre de la théorie des mesures de Young, nous étudions le comportement asymptotique des solutions. D'un point de vue numérique, nous constatons que sous l'effet de la ségrégation, le modèle d'advection non-locale admet un principe d'exclusion.Dans le dernier Chapitre de la thèse, nous nous intéressons à l'application de nos modèles aux expérimentations de co-culture cellulaire. Pour cela, nous choisissons un modèle hyperbolique de Keller-Segel sur un domaine borné. En utilisant les données expérimentales, nous simulons un processus de croissance cellulaire durant 6 jours dans une boîte de pétri circulaire et nous discutons de l’impact de la propriété de ségrégation et des distributions initiales sur les proportions de la population finale.