Coloration, jeux et marquages dans les graphes

Abstract

Nous étudions plusieurs problèmes de coloration dans les graphes, pour certains avec une composante ludique. La coloration à distance 2 d'un graphe est une coloration de ses sommets telle que deux sommets à distance au plus 2 ont des couleurs différentes. Le L(p; q)-étiquetage est une généralisation de ce problème ou les contraintes à distance 1 et 2 sont différentes. Nous donnons des résultats pour ces deux problèmes dans plusieurs classes de graphes peu denses (ayant un faible degré moyen maximum).Le jeu de coloration sur un graphe est un jeu ou deux joueurs, Alice et Bob, colorent tour à tour un des sommets non coloriés d'un graphe, construisant ainsi une coloration propre partielle de plus en plus étendue de ce graphe. Alice tente d'étendre la coloration à l'ensemble du graphe, et Bob tente de l'en empêcher. Nous travaillons sur un invariant de graphe, le degré minmax, dont l'étude permet de déduire des résultats pour le jeu de coloration via l'étude d'un problème structurel, la (1; k)-décomposition d'un graphe, c'est-à-dire la partition de ses arêtes en une forêt et un sous-graphe de degré inférieur ou égal à k.Nous travaillons enfin sur une variante du jeu de coloration nommée jeu de coloration d'incidences, ou Alice et Bob colorient les incidences d'un graphe, pour lequel nous donnons une stratégie efficace pour Alice.Enfin, tout au long de notre mémoire, nous étudions les liens entre la notion de coloration est celle de marquage. Un marquage est un ordre sur les sommets (ou arêtes, ou incidences...) d'un graphe possédant des caractéristiques utiles pour le colorer. Pour nos différents problèmes, nous questionnons l'utilité ou les limites de l'usage de cette notion.