Sur quelques questions en théorie d'Iwasawa

Abstract

Ce travail de thèse comporte l'étude des invariants logarithmiques le long des ℤℓ^{d}-extensions et se compose de trois parties étroitement reliées. La première partie est un compendium sur les divers approches à l'arithmétique algorithmique, c'est à dire l'étude générale des invariants logarithmiques. En particulier on y présente quatre définitions équivalentes du groupe de classes logarithmiques et on y démontre leur équivalence. On donne aussi une preuve alternative d'un théorème d'Iwasawa de type logarithmique. La deuxième partie s'interprète comme un addendum historique sur l'étude du groupe de classes logarithmiques le long des ℤℓ-extensions. On démontre que sous la conjecture de Gross-Kuz'min la théorie d'Iwasawa peut être bien employée pour l'étude du cas non-cyclotomique. Ainsi, on démontre des relations entre les invariants µ et λ correspondant au ℓ-groupe de classes avec les invariants μ~ et λ~ attachés aux groupes de classes logarithmiques. La troisième partie comporte l'étude du module d'Iwasawa logarithmique pour des ℤℓ^{d}-extensions, c'est à dire du groupe de Galois X=Gal(Ld/Kd) de la ℓ-extension maximale abélienne logarithmiquement non-ramifiée du compositum Kd des différentes ℓ-extensions d'un corps de nombres K. On démontre sous la conjecture de Gross-Kuz'min, de façon analogue au cas classique, que X est bien un module noethérien et de torsion sous l'algèbre d'Iwasawa de Kd. Ainsi, on déduit des relations entre les invariants logarithmiques μ~ et λ~ des ℤℓ-extensions de K qui satisfont une hypothèse de décomposition.