Contribution à la théorie des langages de tuiles

Abstract

Les tuiles sont des structures finies, linéaires ou arborescentes, possédantune notion de chevauchement. Elles sont utiles en informatique pourreprésenter des objets musicaux, comme étudié par Janin [2016]. Nous étudieronsles ensembles de tuiles, en particulier comme représentations d’objetsalgébriques, en se basant sur la théorie des semigroupes inversifs.Nos principaux objets d’étude seront les langages de tuiles, et les reconnaisseursappropriés, que l’on peut définir en adaptant aux tuiles des notionsbien connues sur les langages de mots. Nous nous intéresserons à la reconnaissancepar automate, en présentant des automates sur les tuiles linéaires etarborescentes. Nous remarquerons les limites de la puissance de tels automates.Tandis que la notion de reconnaissance par morphisme de monoïdes estinadaptée aux langages de tuiles, nous définirons celle de reconnaissabilité parprémorphisme, ou quasi-reconnaissabilité. Nous étudierons les liens entre quasireconnaissabilitéet reconnaissabilité par automate de tuile.Nous explorerons enfin les propriétés de clôtures de l’ensemble de langagesde tuiles reconnus par automate, et de ceux reconnus par prémorphisme. Ladernière partie sera essentiellement consacrée aux tuiles linéaires, et présenterale monoïde des décompositions restreintes, un outil pour le produit de langagesde tuiles linéaires.