Paysage systolique des surfaces hyperboliques compactes de petit genre

Abstract

Cette thèse est consacrée à l'étude d'invariants métriques de type systole dans le cas des surfaces hyperboliques compactes de petit genre. Dans la première partie, nous déterminons des inégalités optimales pour la systole des surfaces hyperboliques compactes de caractéristique -1. Dans un premier temps nous étudions la géométrie de ces surfaces, nous décrivons ensuite l'action des groupes modulaires sur les espaces de Teichmüller. Nous décomposons alors des domaines fondamentaux de ces actions en cellules adaptées à la systole, cést-à-dire telles que tous les points d'une cellule ont mêmes géodésiques pour systoles. Enfin, nous donnons tous les points critiques des fonctions systole et en particulier leurs maxima. Nous nous intéressons aussi à d'autres invariants comme la 2-systole, la 3-systole... La deuxième partie de la thèse est consacrée au calcul de la constante de Bers en genre 2. Afin de déterminer cette constante, nous introduisons un nouvel outil le graphe de contiguïté rendant compte de la répartition des points de Weierstrass sur une surface de Riemann hyperelliptique. Lorsque la 3-systole est «grande » , ce graphe vérifie une certaine configuration qui permet de majorer la 3-systole par la systole d'une famille particulière de géodésiques. La détermination des maxima de cette nouvelle fonction systole fait apparaître trois surfaces maximales pour la 3-systole, dont une nouvelle. Nous montrons que la constante de Bers est réalisée par le plus grand de ces trois maxima.