Formes modulaires et invariants de courbes elliptiques définies sur Q

Abstract

This thesis consists of several independant parts all concerning the general setting of elliptic curves and modular forms. First, we are interested in the modular parametrization of elliptic curves defined over Q. In particular, we describe the Heegner points method to compute explicitly non-trivial rational points whenever the elliptic curve has an analytic rank 1. Then, we study the family of Sylvester cubics (x3 + y3 = m). We also explain an efficient method to compute the modular degree using the symmetric square L-fonction associated to the elliptic curve. Then, we give a study of the critical points of the modular parametrization. Starting with the deep analogy between elliptic curves and number fields, we make a study of Tate-Shafarevitch groups of elliptic curves defined over Q similar to the one made by Cohen and Lenstra of class groups of number fields. Finally, the use of the symmetric square L-function in order to evaluate de modular degree belongs to the more general setting of the Deligne conjectures concerning the critical values of L-functions. We explain how to verify these conjectures numerically in the case of symmetric powers of L-functions of modular forms, and we give many examples.

Cette thèse est constituée de plusieurs parties indépendantes qui s'intègrent toutes dans le cadre général de l'étude des courbes elliptiques et des formes modulaires. Nous nous intéressons tout d'abord au revêtement modulaire des courbes elliptiques définies sur Q. En particulier, nous décrivons la méthode des points de Heegner pour le calcul explicite des points rationnels non triviaux lorsque le rang analytique de la courbe elliptique vaut 1. Nous étudions alors le cas des cubiques de Sylvester (x3 + y3 = m). Nous expliquons comment déterminer efficacement le degré modulaire en utilisant le carré symétrique de la série L de la courbe elliptique. Puis, nous proposons une étude des points critiques du revêtement. En se basant sur l'analogie qui existe entre les courbes elliptiques et les corps de nombres, nous faisons une étude sur les groupes de Tate-Shafarevitch des courbes elliptiques définies sur Q similaire à celle de Cohen et Lenstra sur les groupes de classes d'un corps de nombres. Enfin, l'utilisation du carré symétrique pour le calcul du degré modulaire, s'inscrit dans le cadre plus général des conjectures de Deligne sur les valeurs spéciales des séries L. Nous expliquons comment vérifier numériquement ces conjectures dans le cas des puissances symétriques des séries L de formes modulaires, et nous donnons un nombre conséquent d'exemples.