Résonances et diffusion pour les opérateurs de Dirac et de Schrödinger magnétique

Abstract

In this thesis, we consider equations of mathematical physics. First, we study the reso- nances and the spectral shift function for the semi-classical Dirac operator and the magnetic Schrö- dinger operator in three dimensions. We define the resonances as the eigenvalues of a non-selfadjoint operator obtained by complex distortion. For the Dirac operator, we establish an upper bound O(h−3), as the semi-classical parameter h tends to 0, for the number of resonances. In the Schrödinger magne- tic case, the reference operator has infinitely many eigenvalues of infinite multiplicity embedded in its continuous spectrum. In a ring centered at one of this eigenvalues with radiuses (r, 2r), we establish an upper bound, as r tends to 0, of the number of the resonances. A Breit-Wigner approximation formula for the derivative of the spectral shift function related to the resonances and a local trace formula are obtained for the considered operators. Moreover, we prove a Weyl-type asymptotic of the SSF for the Dirac operator with an electro-magnetic potential. Secondly, we consider the semi-classical Dirac ope- rator on R with potential having constant limits, not necessarily the same at ±∞. Using the complex WKB method, we construct analytic solutions for the Dirac operator. We study the scattering theory in terms of incoming and outgoing solutions. We obtain an asymptotic expansion, with respect to the semi-classical parameter h, of the scattering matrix in different cases, in particular, in the case when the Klein paradox occurs. Quantization conditions for the resonances and for the eigenvalues of the one-dimensional Dirac operator are also obtained.

Le sujet de cette thèse est l’étude de certaines équations de physique mathématique. Dans un premier temps, on étudie les résonances et la fonction de décalage spectral pour les opérateurs de Dirac semi-classique et de Schrödinger magnétique en dimension 3. On définit les résonances comme des valeurs propres d’un opérateur non-autoadjoint obtenu par distortion complexe. Pour l’opérateur de Dirac, on majore le nombre de résonances par O(h−3) où h ց 0 est le paramètre semi-classique. Dans le cas de Schrödinger magnétique, l’opérateur de référence génère des valeurs propres de multipli- cité infinie plongées dans le spectre continu. Dans une couronne centrée en une de ces valeurs propres et de rayons (r, 2r), on établit une borne supérieure, quand r ց 0, du nombre de résonances. Une approximation de type Breit-Wigner de la dérivée de la fonction de décalage spectral en fonction des résonances et une formule de trace locale sont obtenues pour ces deux opérateurs. De plus, on prouve une formule asymptotique de Weyl pour la fonction de décalage spectral pour l’opérateur de Dirac avec un potentiel électro-magnétique. Dans un deuxième temps, on s’intéresse à l’opérateur de Dirac semi-classique en dimension 1 avec un potentiel ayant des limites constantes mais pas nécessairement les mêmes à ±∞. En utilisant la méthode BKW complexe, on construit des solutions analytiques de l’opérateur de Dirac. On étudie la théorie de la diffusion en fonction des solutions entrantes et sortantes. On obtient une asymptotique semi-classique de la matrice de diffusion dans différents cas, notamment dans le cas où le paradoxe de Klein apparaît. Le calcul des valeurs propres et des résonances est aussi traité pour l’opérateur de Dirac semi-classique unidimensionnel.