Analyse mathématique d'un modèle d'équations aux dérivées partielles décrivant l'adaptation des moustiques face à l'usage des insecticides

Abstract

Dans cette thèse on s'intéresse à un modèle mathématique décrivant l'adaptation du développement des populations de moustiques face à l'usage intensif des insecticides durant la nuit (moustiquaires imprégnées, répulsifs en spray, répulsifs avec diffuseur électrique, ...).Le modèle proposé dans cette thèse est structuré en âge et dépend du temps/moment où le moustique pique pour prendre son repas. Ceci nous conduità des modèles du type ultra parabolique. Le terme de renouvellement de lapopulation de moustiques est non-local, comme pour tous les problèmes démographiques, mais comporte ici un noyau qui permet à la nouvelle générationd'adapter son temps de piqure (repas). Ceci est dû à la sélection de certainsmoustiques qui piquent plus tôt ou plus tard que les autres moustiques, suite àla pression imposée par l'usage intensif des pesticides à l'intérieur des habitats et en particulier durant la nuit. Les conditions aux bords par rapport au moment de piqure (repas) seront périodiques car selon les espèces, les moustiques prennent toujours leurs repas au même moment de la journée.Les principaux résultats peuvent être classés dans 4 parties.Dans la première partie on présente un modèle structuré en âge décrivant laplasticité du moustique dans un environnement non contrôlé. On montre quele problème est bien posé via la théorie des semi-groupes. Le comportementasymptotique est décrit grâce à l'étude du spectre de l'opérateur A générateurdu C0 semi-groupe. On prouve également l'existence ou la non existence dessolutions stationnaires (sous certaines hypothèses).Dans la deuxième partie on s'intéresse à un problème de contrôle optimalde la population de moustiques. Le contrôle correspond à la proportion demoustiques éliminée et dépend du temps, de l'âge des moustiques et du tempsoù le moustique pique pour se nourrir. On démontre d’abord l’existence desolutions grâce à un argument de point fixe puis on établit des résultats decomparaisons pour notre problème. On établit ensuite l'existence d'un contrôleoptimal puis on dérive le système d'optimalité.Dans la troisième partie on s'intéresse à la question de contrôlabilité exacte locale pour le problème décrivant la capacité des moustiques à adapter leurdynamique face à l'usage intensif des insecticides. On établit une nouvelleinégalité de type Carleman pour le modèle structuré en âge avec diffusionet une condition au bord de renouvellement non-locale et des conditions auxbords périodiques par rapport au temps de piqure des moustiques.Dans la quatrième partie on s'intéresse au comportement en temps longd'un modèle non linéaire décrivant l'adaptation de la population des moustiques à l'usage intensif des insecticides. Quand le contrôle est petit (usage limité des insecticides) alors la population mature de moustiques devient grandeavec le temps et quand le contrôle est grand (usage intensif des insecticides)la population mature de moustiques devient petite avec le temps. Dans le casintermédiaire on obtient un modèle avec retard en temps pour la populationmature de moustiques qui peut être gouvernée par une sur-équation et unesous-équation. Finalement on montre que la sous-équation admet des ondesvoyageuses et la population mature de moustiques sera donc comprise entreces ondes voyageuses et les sur-solutions.