Equations modulaires en dimension superieure, applications au calcul d'isogenies et au comptage de points.

Abstract

L’objectif de cette thèse est de généraliser la méthode d’Elkies, un ingrédient fondamental de l’algorithme SEA pour le comptage de points d’une courbe elliptique sur un corps fini, au cas des variétés abéliennes polarisées de dimension supérieure. Les équations modulaires jouent un rôle central dans cette étude. Premièrement, nous donnons un algorithme de calcul d’isogénies entre surfaces abéliennes à partir d’équations modulaires. Deuxièmement, nous obtenons des bornes de degré et de hauteur pour les équations modulaires en fonction de leur niveau. Troisièmement, nous décrivons un algorithme rigoureux permettant d’évaluer des équations modulaires pour les surfaces abéliennes via des approximations complexes. Combiner ces résultats permet d’obtenir un algorithme de comptage de points de meilleure complexité pour les surfaces abéliennes principalement polarisées avec multiplication réelle.