Méthodes numériques innovantes pour l'aérodynamique supersonique 3D sur des maillages non-structurés

Abstract

Après une pause de quelques décennies, un certain intérêt refait surface pour la conception d’aéronefs hypersoniques, appuyé par l’accroissement général des capacités de calculs à hautes performances facilitant la simulations numériques d’écoulements aérodynamiques multidimensionnels. Le modèle physique sous-jacent est constitué par les équations de Navier-Stokes décrivant les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie d’un fluide compressible visqueux et thermoconducteur. Les variables physiques de l’écoulement subissent des variations spatiales et temporelles importantes et complexes. Des méthodes numériques robustes et précises sont nécessaires pour capturer l’ensemble des phénomènes présents dans l’écoulement.Les méthodes numériques historiques reposent sur des approches de type volumes finis. Il s’agit d’une formulation intégrale de loi de conservation dans laquelle la variation temporelle de la valeur moyenne dans la maille est régie par les flux aux interfaces de la maille. Dans le cadre des méthodes volumes finis pour les équations hyperboliques, les flux aux interfaces sont construits à partir de la solution du problème de Riemann (solveur de Riemann). Une caractéristique commune des solveurs de Riemann existant est qu’ils ont été développés dans le formalisme Eulérien. Il est néanmoins possible d’adopter une approche différente. Dans ce travail, nous adoptons le point de vue de Gallice (2003) qui consiste à construire des solveurs de Riemann Eulériens simples à partir de leur homologues Lagrangien à l’aide de la transformation Lagrange-Euler pour les systèmes de lois de conservation de la mécanique des milieux continus.Une classe de schémas volumes finis centrés aux cellules basée sur la transformation Lagrange-Euler est introduite. La construction du schéma démarre avec la discrétisation des équations de l’hydrodynamique Lagrangienne multidimensionnel (Loubère et al. (2016)), et ensuite inspirés par les travaux de Shen et al. (2014). Les flux numériques du schéma sont évalués avec un solveur de Riemann aux noeuds. Ce solveur permet de cal- culer la vitesse nodale nécessaire pour déplacer la grille en description Lagrangienne. Par conséquent, la conservation et la stabilité d’entropie du schéma résultent d’une équation vectorielle basé aux noeuds et une inéquation scalaire. La transformation Lagrange-Euler par Gallice (2002a, 2003) et revisitée dans Chan et al. (2021) permet de construire des solveurs de Riemann eulériens positifs et entropiques à partir de solveurs lagrangiens, à condition qu’une condition sur le pas de temps explicite soit remplie.Dans le premier chapitre, nous avons repris le formalisme de Gallice (2003) pour développer un schéma de type volumes finis unidimensionnel positif et entropiquement stable grâce à la transformation Lagrange-Euler. Dans les deuxième et troisième chapitres, nous présentons la théorie de la méthode volumes finis appliquée aux sous-faces des éléments de maillage, suivie de son application aux équations de la dynamique des gaz multidimensionnel. Dans le dernier chapitre, une extension pour construire un schéma aux sous-faces équilibré pour les équations de Saint-Venant est présentée.