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dc.contributor.advisorPhilippe Thieullen
dc.contributor.advisorStéphane Brull
hal.structure.identifierInstitut de Mathématiques de Bordeaux [IMB]
dc.contributor.authorAYOT, Valentin
dc.contributor.otherMarc Arnaudon [Président]
dc.contributor.otherSeung-Yeal Ha [Rapporteur]
dc.contributor.otherGaël Raoul
dc.contributor.otherChristian Léonard
dc.date.accessioned2024-04-04T02:34:33Z
dc.date.available2024-04-04T02:34:33Z
dc.identifier.urihttps://oskar-bordeaux.fr/handle/20.500.12278/190561
dc.identifier.nnt2022BORD0352
dc.description.abstractDans divers domaines, certains phénomènes qui dépendent du temps sont représentés par des modèles mathématiques. En particulier les comportements collectif d’un groupe composé d’un certain nombre d’agents. Dans les modèles de la théorie cinétique, on étudie la position et la vitesse de chaque agent au cours du temps. L’équation de Boltzmann est l’une des équations les plus connues dans ce domaine. Dans la littérature moderne, on trouve beaucoup de modèles cinétiques de type Boltzmann qui décrivent au cours du temps le comportement collectif d’un groupe (gaz de particules, groupe d’individus, nuée d’oiseaux, banc de poissons,...). On retrouve dans la plupart de ces modèles les mêmes résultats que ceux établis pour l’équation de Boltzmann en utilisant les mêmes arguments. Le but de ce manuscrit est d’introduire puis d’étudier un modèle cinétique de type Boltzmann dans lequel les outils classiques utilisés pour l’équation de Boltzmann sont inopérants. Le modèle présenté dans ce manuscrit est un modèle de type Boltzmann qui décrit au cours du temps le comportement collectif d’un grand groupe d’individus. Celui-ci considère un mécanisme où lorsque deux individus entrent en collision, ils vont adopter après la collision la même vitesse selon une distribution centrée sur la vitesse moyenne avant la collision. Le premier chapitre de ce manuscrit concerne la version la plus simplifiée de ce modèle: la version homogène en espace avec un taux de collision constant. Nous montrerons dans ce chapitre que dans ce cas particulier, les solutions du modèle sur Rd convergent exponentiellement vers l’état d’équilibre pour la distance de Wasserstein. Cette convergence sera obtenue grâce à un phénomène de contraction qui prend place dans le processus de collision. La convergence des solutions pour la norme forte L1 sera également démontrée pour des conditions initiales vérifiant une propriété de régularité plus forte. Des illustrations numériques seront présentes afin de visualiser cette convergence. Dans un second chapitre, on considèrera le même modèle mais avec un taux de collision quelconque. La non-constance de celui-ci complique la preuve puisqu’il fait disparaitre le phénomène de contraction dans le processus de collision. Cependant, on peut écrire le modèle comme une équation différentielle ordinaire en dimension infinie, ce qui fait apparaître un opérateur qui satisfait la condition de Hölder pour a = 1=2. Nous montrerons dans ce second chapitre l’existence d’états d’équilibre et des simulations numériques seront présentées. Celles-ci montrerons l’existence d’une solution en tout tempsainsi que la convergence vers un unique état d’équilibre. La convergence théorique n’est pas démontré rigoureusement.
dc.description.abstractEnIn various domains, certain phenomena that depend on time are represented by mathematical models. In particular the collective behavior of a group composed of a certain number of agents. In kinetic theory models, we study the position and velocity of each agent over time. The Boltzmann equation is one of the best-known equations in this domain. In modern literature, there are many Boltzmann type kinetic models which describe the collective behavior of a group over time (gas of particles, group of individuals, flock of birds, school of fish,...). We find in most of these models the same results as those established for the Boltzmann equation using the same arguments. The goal of this manuscript is to introduce and then to study a kinetic Boltzmann-type model in which the classical tools used for the Boltzmann equation are inoperative. The model presented in this manuscript is a Boltzmann-type model that describes the collective behavior of a large group of individuals over time. This one considers a mechanism where as two individuals collide, they will adopt after the collision the same post-collisionnal velocity according to a distribution centered at the mid pre-collisional velocity. The first chapter of this manuscript concerns the most simplified version of this model: the spatially homogeneous version with a constant collision rate. We will show in this chapter that in this particular case, the solutions of the model on Rd converge exponentially towards the equilibrium state for the Wasserstein metric. This convergence will be obtained thanks to the phenomenon of contraction which takes place in the collision process. The convergence of solutions for the strong norm L1 will also be proved for initial conditions satisfying a stronger regularity property. Numerical illustrations will be present to visualize this convergence. In a second chapter, we will consider the same model but with any collision rate. The non-constancy of this one complicates the proof since it makes disappear the phenomenon of contraction in the collision process. However, we can write the model as an ordinary differential equation in infinite dimension, which gives rise to an operator which satisfies the Hölder condition with a = 1=2. We will show in this second chapter the existence of equilibrium state and numerical simulations will be presented. These will show the existence of a solution at all times as well as the convergence towards a unique equilibrium state. Unfortunately we do not know how to show rigorously the convergence.
dc.language.isoen
dc.subjectBoltzmann
dc.subjectDynamique collective
dc.subjectModèles cinétiques
dc.subjectDistance de Wasserstein
dc.subjectTransport optimal
dc.subject.enBoltzmann
dc.subject.enKinetic models
dc.subject.enCollective dynamics
dc.subject.enWasserstein metric
dc.subject.enOptimal Transport
dc.titleKinetic models applied to some collective dynamics behaviors
dc.title.enMéthodes cinétiques appliquées à l'étude de certains comportements collectifs
dc.typeThèses de doctorat
dc.subject.halMathématiques [math]/Systèmes dynamiques [math.DS]
bordeaux.hal.laboratoriesInstitut de Mathématiques de Bordeaux (IMB) - UMR 5251*
bordeaux.institutionUniversité de Bordeaux
bordeaux.institutionBordeaux INP
bordeaux.institutionCNRS
bordeaux.type.institutionUniversité de Bordeaux
bordeaux.ecole.doctoraleÉcole doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
hal.identifiertel-04076952
hal.version1
hal.origin.linkhttps://hal.archives-ouvertes.fr//tel-04076952v1
bordeaux.COinSctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info:ofi/fmt:kev:mtx:journal&rft.title=Kinetic%20models%20applied%20to%20some%20collective%20dynamics%20behaviors&rft.atitle=Kinetic%20models%20applied%20to%20some%20collective%20dynamics%20behaviors&rft.au=AYOT,%20Valentin&rft.genre=unknown


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