Étude Mathématique et Applications des Modèles de Collision Décrivant les Gaz Polyatomiques

Abstract

L’équation de Boltzmann, introduite par Ludwig Boltzmann en 1872, est un outil fondamental pour étudier les propriétés des gaz dilués par une approche cinétique. Les modèles cinétiques constituent en effet un outil puissant pour décrire les systèmes hors équilibre et peuvent être considérés comme un pont entre les descriptions macroscopiques et microscopiques. Cette thèse présente une étude d’opérateurs collisionels des gaz polyatomiques du point de vue de la théorie cinétique. La théorie s’appuie sur la théorie cinétique des gaz monoatomiques, avec un niveau supplémentaire de complexité. Cette complexité est due aux modes d’énergie internes supplémentaires tels que l’énergie de rotation et de vibration, au-delà de la simple énergie cinétique de translation. Ces modes d’énergies internes sont supposés continus et représentés par un paramétre continu positif. Cette étude possède des applications importantes dans des domaines telles que la science de l’atmosphére, la combustion, et la science des matériaux. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier et de résoudre certains problèmes relatifs à l’équation de Boltzmann polyatomique. Dans le chapitre 2 nous présentons des résultats obtenus pour l’opérateur de Boltzmann linéarisé. En particulier, nous montrons avec un niveau de complexité croissant que l’opérateur de Boltzmann linéarisé est un opérateur de type Fredholm. Cet opérateur joue un rôle important pour dériver les limites hydrodynamiques de l’équation de Boltzmann. Nous présentons ensuite une dérivation des équations de Navier-Stokes incompressibles à partir de l’équation de Boltzmann pour les gaz polyatomiques au Chapitre 3. Dans le Chapitre 4, nous prouvons l’existence et l’unicité des solutions de l’équation de Boltzmann stationnaire pour la géométrie du slab supposé suffisamment petit en utilisant des arguments de point fixe.