Extension de l'analyse des correspondances à des donnéees multi-dimensionnelles : un point de vue géométrique

Abstract

Nous présentons une extension de l'analyse des correspondances (AC) aux tenseurs par la décomposition en valeurs singulières d'ordre élevé (HOSVD) d'un point de vue géométrique. L'analyse des correspondances est un outil bien connu en science des données, développé à partir de l'analyse en composantes principales et appliqué aux tableaux de contingence. En effet, l'AC associe un tableau de contingence à deux voies à deux nuages de points, liés par une relation barycentrique caractéristique. Différentes extensions algébriques de l'AC aux tableaux à plusieurs voies ont été proposées au fil des ans, sans toutefois négliger sa signification géométrique, pour autant que nous le sachions. En s'appuyant sur le modèle de Tucker et le HOSVD, nous proposons un moyen direct d'associer à chaque mode tensoriel un nuage de points. Nous prouvons que les nuages de points sont liés les uns aux autres. En utilisant spécifiquement la métrique CA, nous montrons que la relation barycentrique est toujours vraie dans le cadre tensoriel. Enfin, des exemples numériques sont utilisés pour souligner les avantages et les inconvénients de notre stratégie par rapport aux approches matricielles classiques.